江西省上饶市玉山县第二中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

江西省上饶市玉山二中2023-2024学年高三上学期12月考试数学试题 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（   ） A．77 B．49 C．45 D．30 2．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，设，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．10 5．如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美．，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接，的焦点，，线段分别交，于点G，H，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．过点作圆：的切线与轴交于点，过点的直线与，轴及轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆上，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 7．数列的前n项和为，且满足，，则（    ） A．1011 B．1013 C．2022 D．2023 8．已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分） 9．已知函数，则下列关于的方程的命题正确的有（    ） A．存在实数，使得方程恰有1个实根 B．不存在实数，使得方程恰有2个不等的实根 C．存在实数，使得方程恰有3个不等的实根 D．不存在实数，使得方程恰有4个不等的实根 10．在棱长为的正方体中，、两点在线段上运动，且，在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．在平面内存在点，使得平面 C．点在正方形（包括边界）内运动，且直线与直线成角，则线段长度的最小值为 D．与平面所成角的正弦值的取值范围为 11．给出下列命题，其中为假命题的是（    ） A．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则 B．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 C．若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 D．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 12．已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（    ） A． B．数列是以2为公比的等比数列 C．对任意的， D．的最小正整数n的值为15 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设函数的定义域为，，当时，.若存在，使得有解，则实数的取值范围为 . 14．已知三棱锥满足底面，在中，，，，是线段上一点，且．球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为 . 15．已知双曲线E：的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为 ． 16．设函数的导数为，且，则 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)时，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 18．已知函数是奇函数，且过点． (1)求实数m和a的值； (2)设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 19．已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，直线与平面所成角的正切值为1．    (1)求证：； (2)若点是线段AD上靠近的四等分点，，求点到平面的距离． 20．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若为纯虚数，求实数的值. 21．已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形. (1)求C的方程； (2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值. 22．设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有． (1)求证：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和为，求证：． 数学参考答案 1．C 【分析】列举出集合A和集合B的元素，得的元素个数. 【详解】因为，所以集合A中的元素有： ，，，，； 由，得集合B中的元素有： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，； 则中的元素有： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，， 共45个.