第二章 有理数及其运算——有理数的运算 讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级上 册

第三讲 有理数的运算 知识梳理 1.有理数的四则运算 进行有理数的运算的时候，主要有如下步骤：①观察；②定号；③求值 定好 求值 加法 同号：取与加数相同的符号 绝对值相加 异号：取绝对值较大数的符号 较大的绝对值减去较小值的绝对值 (1)加法： 全部转化为加法运算.减去一个数等于加上这个数的相反数. (2)减法： 倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数. (3)乘法 定号 求值 乘法 同号取正 绝对值相乘 异号取负 (4)除法 部分转化为乘法运算.除以一个数等于乘以这个数的倒数. 部分简单可以直接进行除法运算，具体如下： 定号 求值 除法 同号取正 绝对值相除 异号取负 2.有理数的运算 (1)加法交换律：a+b=b+a (2)加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律：ab=ba (4)乘法结合律；(ab)c=a(bc) (5)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 3.有理数的乘方运算 负数的奇次幂为负，偶次幂为正；正数的任何次幂都为正；注意负数及分数的幂所添加的括号. 4.有理数的混合运算 注意运算顺序： (1)先算平方，再算乘除，最后算加减； (2)同一级运算，从左到右运算； (3)如果有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行. 5.常用的方法与技巧 (1)凑整法； (2)公式法； (3)换元法； (4)裂项法； (5)改变运算顺序， 典型例题 例1 分 析 在计算有理数的加减法时，先观察有没有相加后为0的数，若有，先将它们结合起来 相加，然后可以把相同分母的数结合相加；若是带分数，可以将整数部分和分数部分分别相加若既有分数又有小数，通常先把小数化为分数再计算. 解 例2 计算 分 析 在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘，其结果为负，偶数个负数相乘，其结果为正. 解 例3 分 析 利用,,┉,,一般地，当n>m时， 解 原式=+++┉+ = = 例4 阅读下列式子的计算过程： 解： 回答下列问题： (1)步骤①错在 ; (2)步骤①到步骤②错在 ; (3)步骤②到步骤③错在 ; (4)此题的正确结果是 . 分 析 根据去括号法则、有理数的乘方法则和有理数的运算顺序进行解题. 解 (1)去括号错误； (2)乘方计算错误； (3)运算顺序错误； (4) 例5 小王上周五在股市以收盘价(收市时的价格)每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况如下表(单位：元): 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌/元 +2 -0.5 +1.5 -1.8 +0.8 根据上表回答问题： (1)星期二收盘时，该股票每股多少元? (2)本周内该股票收盘时的最高价和最低价分别是多少? (3)已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费.若小王在本周五 以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何? 分 析 (1)由题意可知：星期一比上周的星期五涨了2元，星期二比星期一跌了0.5元，则星期二收盘价表示为25+2-0.5,然后计算； (2)星期一的股价为25+2=27;星期二为27-0.5=26.5;星期三为26.5+1.5=28;星期四为28-1.8=26.2;星期五为26.2+0.8=27;则星期三的收盘价为最高价，星期四的收盘价为最低价； (3)计算上周五以25元买进时的价钱，再计算本周五卖出时的价钱，用卖出时的价钱一买进时的价钱即为小王的收益. 解 (1)星期二收盘价为25+2-0.5=26.5(元/股). (2)收盘最高价为25+2-0.5+1.5=28(元/股),收盘最低价为25+2-0.5+1.5-1.8=26.2(元/股). (3)小王的收益为：27×1000(1-5‰)-25×1000(1+5%)=27000- 135-25000-125=1740(元). 所以小王的本次收益为1740元. 双基训练 1.负实数a的倒数是( ). A.-a B. C. D.a 2.下列说法错误的是( ).. A. 互为相反数之和等于0 B. 互为倒数之积等于1 C. 倒数等于本身的数有0,±1 D.相反数是它本身的数只有0 3.下列结果运算为负值的是( ). A. B. C.0×(-2) D. 4. 式子中用的运算律是( ). A. 乘法