专题19 双曲线离心率定值及取值范围（期末选择题19）-2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题19 双曲线离心率定值及取值范围（期末选择题19） （原卷版） 题型1 双曲线离心率定值问题 求双曲线的离心率总原则 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解 工具1：离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 工具2：双曲线顶点阐述 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 工具3：渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 工具4：双曲线的渐近线破解版 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 工具5：求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 形如1：已知双曲线（）的左右焦点分别是，，点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．3 D．2 破解：双曲线的渐近线为，设，，则， 因为点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形， 所以点在渐近线上，所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A 形如2：已知，是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 破解：. 故选：B 形如3：已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 破解：渐近线方程为： ，由于P点坐标在第二象限，选用 ， 将P点坐标代入得： ，又 ； 故选：D. 形如4：已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2或 B． C． D．或2 破解：由题意得双曲线的渐近线为， 而两条渐近线的夹角为，故的倾斜角为或，故或， 或2， 故选：A 形如5：已知双曲线的右焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（       ） A． B． C．2 D．3 破解：如图，不妨设在第一象限，设是双曲线的左焦点，显然关于原点对称，因此是平行四边形， 又，所以是矩形，， ，又，所以，所以． 故选：D． 1．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线C：（，）的右焦点为F，过F的直线l与x轴垂直，且与C交于A，B两点，若与的夹角为（O为原点），则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，且是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 4．由双曲线的两渐近线所成的角可求其离心率的大小，初中学习的反比例函数的图象也是双曲线，据此可求得曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 5．已知是双曲线的右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C．3 D． 6．已知圆与中心在原点､焦点在轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A．2