5.2.2同角三角函数的基本关系 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2 三角函数的概念 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系 一 二 三 学习目标 能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式;掌握三种基本关系式之间的联系 熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法; 根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明 学习目标 复习回顾 回顾2 终边相同的角的同一三角函数值有什么关系呢? 回顾1 三角函数值在各个象限中的符号是怎样的? 其中 终边相同的角的同一三角函数值相等! 一全正、二正弦、三余弦、四正切 新课导入 问题1 那么,终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢? 由公式一可知,我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系. 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的, 所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系. 过P作x轴的垂线,交x轴于M,则∆OMP是直角三角形. 由勾股定理,有MP2+OM2=OP2 因此,y2+x2=1,即 问题2 当角 的终边不在坐标轴时,正弦、余弦之间的关系是什么? O x y 问题3 当角 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立? 当角 的终边在x轴上时, 当角 的终边在y轴上时, 对于任意角 ( ∈R),都有 结论: 这就是说,同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1. 新知探究 同角三角函数的平方关系 思考 这个商的关系对任意角都成立吗? 问题4 观察并思考任意角 的sin 、cos 、tan 这三者有什么样的关系? 当 时,有 这就是说,同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切. 新知探究 同角三角函数的商数关系 (3)sin2 与sin 2之间的区别:前者是(sin )2的简写,是 的正弦的平方,读作“sin 的平方”,后者是 的平方的正弦,两者是截然不同的。 对同角三角函数的基本关系式的理解 (1)同角三角函数的基本关系式中的角都是”同一个角”,而sin2 +cos2 =1不一定成立. “同角”与角的表示形式无关,如 成立,这里的同角是指 . 一般地,公式中的角可以是具体值,也可以是变量,可以是单项式形式表示的角,也可以是多项式形式表示的角. (2)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的,sin2 +cos2 =1对一切 ∈R恒成立,而 仅对 成立. (3)sin2 与sin 2之间的区别:前者是(sin )2的简写,是 的正弦的平方,读作“sin 的平方”,后者是 的平方的正弦,两者是截然不同的。 对同角三角函数的基本关系式的理解 (1)同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”,而sin2 +cos2 =1不一定成立. “同角”与角的表示形式无关,如 成立,这里的同角是指 . 一般地,公式中的角可以是具体值,也可以是变量,可以是单项式形式表示的角,也可以是多项式形式表示的角. (2)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的,sin2 +cos2 =1对一切 ∈R恒成立,而 仅对 成立. 新知探究 问题5 对于平方关系和商数关系可作哪些变形? 例1 解: 当 是第三象限角时, 当 是第四象限角时, 典例解析:求值(一) 先定位(判象限、定正负) 后定量(定公式) 分类讨论! 巩固练习 课本P184 典例解析:恒等式证明 例2 证法1: 由,知所以 所以,原式成立 今后,除特殊注明外,我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式. 证法2: 且, 还有其它证明方法吗? 证法3: 典例解析:恒等式证明 所以原式成立 例2 三角函数恒等式证明方法: (2)证明等式的等价关系: 证明等式左右两边之差为零。 注:要注意两边都有意义的条件下才恒等 (1)从一边开始证明它等于另一边(由繁到简) (3)证明左、右两边等于同一式子(两边归一) 巩固练习 课本P184 例3 切化弦 典例解析:化简 巩固练习 课本P184 典例解析:求值(二) 例4 已知,求下列各式的值. 法1:分别求sin ,cos 代入 法2:同除以cos 或cos2 分子为1 暗含:分母为1 先求tan 答案: 解题感悟 (1)对于式子 或 ,可以将分子、分母同时 除以 或 ,化成关于 的式子,进而求值. (2)对于式子 ,可将其看成分母是1的分式,利 用 进行代替后,分子、分母同时除以 ,得到关于 的式子,进而求值. 已知 的齐次式求值的方法技巧 应用提升 例5 A. B. C. D. , 解: 解得 . 检验 应用提升 例6 的值吗? 巩固练习 , 之间的关系 在解决含有 , 的三角函数问题时要注意题目中的隐含 条件,灵活运用平方关系,列方程组求解 , ,从而解决问题. 解决此类问题常涉及以下三角恒等式: (1) ; (2) . 三角“三剑客”反映三角函数的“和”、“差”、“积”,它们联