4.3.1等比数列的概念第一课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 (第一课时) 1 一、课题导入 具体实例 等差数列 的概念 代数运算 归纳法 累加法 通项公式 函数角度 数 一次函数 形 抽象概念 等差数列： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 二、引导探究1 等比数列及等比中项的概念 问题1：类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，观察以下几个数列，思考它们有何共同特征？ 1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 9, 92, 93, ‧‧‧, 9l0 ①; 100, 1002, 1003, ‧‧‧ ,10010 ②; 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 ③. 2.《庄子•天下》中提到: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭.” 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”, 那么从第1天开始, 各天得到的“棰”的长度依次是 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2, 4, 8, 16, 32, 64, ‧‧‧. ⑤ 从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数. 1.等比数列的概念　 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等 差 数 列 . 这个常数叫做等 差 数列的公 差 ，通常用字母 d 表示. 等比数列的符号语言： q 比 同一个不为0的常数 等比数列. 公比 比 注: (1)从第二项起每一项与它的前一项之比为常数; (2)任意一项且 (3)时，为非零常数列. (q≠0) 递推公式 例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． （1） ， ， ， ， ， ； （2） , , , , ， ； （3） ， ， ， ， ； （4） , , , , , ， ； （5） ， , ， , ， . 不是 是，公比为1 不是 是，公比为-4 三、典型例题1 等比数列的判断和等比中项的应用 ①非零常数列既是等差数列又是等比数列； ②q＞0时，等比数列各项符号相同；q＜0 时，等比数列正负交替，是摆动数列. （6） ， , ， , ， . 是，公比为4 等差中项 等比中项 如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项. 如果三个数a, G, b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项. 定义 a, A, b成等差数列 a, G, b成等比数列 关系 问题3:类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ 2.等比中项的概念　 例2 （1）2与8的等比中项为______； （2） 和 的等比中项为______． （3）1和的等比中项为 . （4）1 ， ，4，-8是等比数列，则 . 若a，b同号则有两个等比中项； 若a，b异号则无等比中项； 等比数列的奇数项同号，偶数项也同号. 不存在 二、引导探究2 等比数列的通项公式 问题4:类比等差数列的通项公式推导，根据等比数列的定义及递推公式可以推导它的通项公式吗？怎么推？ 等差数列 等比数列 不完全归纳法 需验证当n=1时上式成立 累乘法 累加法 等差数列 等比数列 需验证当n=1时左式成立 3.等比数列的通项公式 思考：已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an. 等比数列{an}的通项公式： 数列中的每一项都有可以用这个数列的首相a1和公比q表示. 例3 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 三、典型例题2 等比数列中基本量的计算 变式： 已知在等比数列 中， （1） ， ，求 ； （2） ， ， ，求 ； （3） ， ， ，求n. 形 等差数列 等比数列 类比 抽象概念 代数运算 归纳法 累乘法 累加法 通项公式 函数角度 数 一次函数 ？ 数 形 四、课堂小结 思考：等差数列与一次函数可以建立相似关系，等比数列可以与哪类函数建立相似的关系？ (2) a1＝＝＝5. (3)∵，由得q＝，∴a1＝32. 又an＝1，∴32×＝1，即26-n＝20，解得n＝6. 解：(1)∵a4＝a1q3，即8＝q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n－1. $$