广东省2024年中考数学专题复习课件：几何最值

专题：几何最值 几何最值问题理论基础 应用范围 1．两点之间线段最短； 2．三角形的两边之和大于第三边； 3．点到直线之间的距离垂线段最短；两条平行线之间垂线段最短. (1)将军饮马问题； (2)平移后的将军饮马问题； (3)辅助旋转，平移，折叠等几何变换. 模型一　路径中的瓜豆问题 模型讲解 如果有两个动点P，Q，点P是主动点，点Q是从动点，当主动点P的轨迹是一条直线时，那么从动点Q的轨迹也是一条直线；当主动点P的轨迹是一个圆(或圆弧)时，那么从动点Q的轨迹也是一个圆(或圆弧)． 引例：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是否为圆？ 模型讲解 【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM∶PO＝AQ∶AP＝1∶2. 【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由点A，Q，P始终共线可得A，M，O三点共线， 由Q为AP中点可得AM＝ AO. Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 应用范围 成立条件： 1．两“动”，一“定”； 2．两动点与定点的连线的夹角是定角； 3．两动点到定点的距离之比是定值． 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离之比相等 【针对训练1】 1．如图，抛物线y＝ x2－4与x轴交于A，B两点，点P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是( ) A．3 B． C．　　 D．4 【解析】如答图，连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点P′. 当y＝0时， x2－4＝0，解得x1＝4，x2＝－4. 则A(－4，0)，B(4，0)． ∵Q是线段PA的中点， ∴OQ为△ABP的中位线． ∴OQ＝ BP. P' 答图 当BP经过圆心C，即点P运动到P′位置时， BP的值最大，此时OQ有最大值． ∵BC＝ ＝5， ∴BP′＝5＋2＝7. ∴线段OQ的最大值是 . 故选：C． 1．如图，抛物线y＝ x2－4与x轴交于A，B两点，点P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是( ) A．3 B． C．　　 D．4 C P' 答图 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE∶ED＝1∶2.动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F.设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径的长为___． 【解析】当点P与点A重合，点F与点K重合时，点M在点H处； 当点P与点B重合，点F与点G重合时，点M在点N处，点M的 运动轨迹是线段HN. 在Rt△AEB中，AE＝2，AB＝4， 由四边形ABCD是矩形易知AD∥BG且四边形AEKB也是矩形． ∴∠AEB＝∠EBG. 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE∶ED＝1∶2.动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F.设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径的长为___． ∵BK＝AE＝2，∴KG＝BG－BK＝8. ∵HN是△EKG的中位线．∴HN＝ KG＝4. ∴点M的运动路径的长为4. 故答案为：4. 4 模型二　轨迹为线段与最值问题 模型讲解 应用范围 1．定距离得平行线． 到定直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于直线l，并且到直线l的距离等于定长d的两条直线． 说明：过程点均为线段的中点，过程点在运动过程中到定线段的距离始终保持不变，根据平行线间的距离处处相等，可得过程点的运动轨迹与定线段平行，再加上中点即可证运动路径长为三角形(或梯形)的中位线．另：此类题也可通过四点共圆的几何证法，得角相等，再根据同位角(内错角)相等，两直线平行得中位线. 瓜豆问题(主动点与从动点问题). 模型讲解 应用范围 2．定夹角得直线． 如图，动点B在运动过程中直线AB(点A为起点)与定直线l的夹角保持不变，则动点B始终在定直线AB上运动，此时，点B运动路径的长为连接起点和终点的线段长． 瓜豆问题(主动点与从动点问题). 3．与已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 4．在角的内部，到角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线．