2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题复习：几何探究题

人教版九年级上册数学期末专题复习：几何探究题 1．在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________； (2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时． ①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想； ②直接写出，和之间的数量关系． 2．如图，在中，，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求线段的长； (3)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 3．如图1，和均为等腰直角三角形，，，，取线段的中点M．    (1)若请求出的度数． (2)将绕点C旋转到图2的位置，判断线段、的关系并加以证明 (3)将绕点C旋转任意角度后（如图3）其他条件不变，探究线段、的关系，并加以证明． 4．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． (1)尝试解决：如图①，在等腰中，，，点M是上的一动点，将绕点A旋转后得到，连接． ①当时，求的长度． ②点M在运动过程中，当的面积最小时，______，的面积的最小值是______． (2)类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，，，于点B，于点D，点P、Q分别是、上的点，且，求的周长．（结果用含a的代数式表示） 5．数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：    (1)【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角 ； ②图1中与的数量关系是 ． (2)【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 6．综合与实践 如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，为的中点，连接，． (1)观察猜想：线段和的数量关系为______，和的位置关系为_______； (2)探究证明：把绕点逆时针旋转时，如图②，试判断（1）中的关系是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由； (3)拓展应用：若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当时，的长度为________． 7．在等腰中，，，，D是线段上的动点，M为中点． (1)如图（1），若将线段绕点逆时针旋转得到，连接．在点的运动过程中，解决如下问题： ①【猜想证明】与的关系是_________； ②【探究应用】求周长的最小值； ③【探究应用】当取最小值时，求的长； (2)【拓展提升】如图（2），若为线段上的两个动点，且，求的度数． 8．综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．    【问题情境】 如图①，在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转（）得到线段，过点E作交直线与点F． 【猜想证明】 （1）当时，四边形的形状为______；（直接写出答案） （2）如图②，当时，连接，求此时的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 9．阅读理解 （1）如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______； 类比探究 （2）如图2，在等边中，，为边上的点，，，，求线段的长； 拓展应用 （3）如图3．在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰长，请求出的值．    10．已知，是等边三角形．    【性质探究】如图①，点P在内，将绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到，连接，求证：是等边三角形． 【理解运用】如图②，点P在内，若，，，则______． 【类比拓展】如图③，点P在外，若，，，则的度数为______． 11．在中，，点A关于直线的对称点为点，连接，点P为直线上的动点（不与点B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，连接．    (1)问题发现：如图1，当点P在线段上时， ①连接，判断与__________（填“全等”或“不全等”）； ②__________． (2)拓展探究：如图2，当点P在线段的延长线上时，的度数是否改变？若不变，请加以证明，若改变，请说明理由； (3)问题解决：当时，请直接写出线段AP的长度． 12．如图，在正方形中，E是对角线上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转90°到，连接，交于点G．    (1)当E是对角线的中点时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)探究：当E不是对角线的中点时，连接，四边形是平行四边形吗？写出探究过程． (3)若，连接，直接写出线段和的长的范围． 1