关于圆锥曲线中斜率乘积的探索 讲义——2024届高三数学一轮复习

关于圆锥曲线中斜率乘积为的初探 直线与圆锥曲线永远形影不离，而圆锥曲线中的直线也有各有特点，有一般的直线，也有比较特殊的直线，比如过原点、过顶点等；圆锥曲线中可以有一条直线，也可以有两条直线. 本文主要探究圆锥曲线（主要是椭圆和双曲线）中两条相交直线的斜率之积为定值的等价条件，以及充分或必要条件.主要探索包括三个内容：一是聚焦于中点弦问题；二是阐述过圆锥曲线两个顶点的直线斜率之积为定值问题；三是探索满足一定条件的点的轨迹方程. 一、中点弦问题 　　已知，是椭圆（）上的两点，则有下面的等价条件 是，的中点. 【另外】若椭圆的方程为（），则相应的结果可以表示为 ，若椭圆改成双曲线，则相应的结果就是（焦点在上）或（焦点在上）. 　　实际上，当时，椭圆变成了圆.在圆中，因为，所以显然是成立的，因此就不难理解在椭圆中的上述结论了，我们可以认为该结论是在圆中情形的推广.读者可以很容易的完成证明. 【例1】已知双曲线一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） 【解析】设，中点为，则，，，由，整理得，又，解得，.故选. 【练1】已知是双曲线的焦点，过的直线与相交于，且的中点为，则的方程为（ ） 【解析】，由，又，解得.故选. 【练2】已知斜率为的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，求的离心率. 【解析】因为，，，则，所以，故. 【练3】斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点 ，求的最小值. 【解析】因为，，整理得，则（当且仅当时取等号），故的最小值为. 　　已知弦及弦中点，可得；如果已知，是弦长，点在弦上，那么是弦的中点吗？结论是显然的.下面通过例题证明. 【例2】已知椭圆的方程为，，和为的三个顶点，设直线交椭圆于，两点，交直线于点，若，证明：为的中点. 【解析】设为的中点，则，即.又且在上，所以点，重合，故为的中点. 【例3】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为，且过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，与共线，求椭圆的离心率. 【解析】设的中点为，则与共线，即.由，整理得，故. 【练1】过点的直线交双曲线于，两点，，求直线的方程. 【解析】因为，所以是的中点，由，，解得，故直线的方程为. 【练2】过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 . 【解析】由题意，是线段的中点，根据结论，即，则，离心率，故填. 【练3】已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，. （1） 证明：平分线段（其中为坐标原点）； （2） 当最小时，求点的坐标. 【解析】（Ⅰ）易得椭圆的标准方程为. （Ⅱ）（１）易知椭圆的标准方程为，设直线为，中点为，则，知，直线为，得，则，所以，，共线，故平分线段. （2） 由（１）知，，则，联立，得： ，得，， ， 故，令，则. ，等号当且仅当时成立，即，此时. 　　通过及相关等式替换，还可以证明相关弦垂直. 下面通过例题给出证明. 【例4】已知椭圆的方程为，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于点，设直线的斜率为，求证：对任意，. 【解析】设，，则，且，，. 取的中点，则，又，所以，又，，所以，则，故对任意，. 【练1】设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足（且），当在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. （Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在请说明理由. 【解析】（Ⅰ）设，则由（且），可得，，所以，，.整理得（且）. （１）当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标为，； （２）当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标为，. （Ⅱ）设存在（且），使得对任意的，都有，，，则，，易得，由，，得，即，解得. 　　通过能否判断圆锥曲线上的点关于弦对称呢？答案是显然的，下面通过例题及变式就可看出答案. 【例5】已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有两个不同的点关于这条直线对称. 【解析】设，两点关于对称，中点，又，，则；又，得；再由在椭圆内可得，整理得，解得. 【练1】在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由. 【解析】设，两点关于对称，中点，又，，解得，则.又在直线上，则交点的坐标