二次函数中特殊三角形问题2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题复习

二次函数中特殊三角形问题 1．如图，抛物线与x轴交于点A，顶点为点P． (1)用含a的代数式表示顶点P的坐标______； (2)把抛物线绕点旋转得到抛物线（其中），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q． ①当时，求线段的长； ②在①的条件下，是否存在为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，直线和抛物线的交点是，已知抛物线的顶点D的横坐标是1． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线的下方抛物线上找一点P，连接使得的面积最大，并求出这个最大值． (3)在x轴上是否存在一点C，与A，B组成直角三角形?若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由； 4．如图：抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴直线上找一点，使点到点的距离与到点的距离之差最大，求出点的坐标； (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标．（直接写出结果） 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，请直接写出的范围； (3)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． 7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交与点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． (4)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 8．已知抛物线n：与x轴从左到右交于A、B两点，顶点为C． (1)的形状是___________． (2)若，求m的值． (3)直线与抛物线n从左到右交于D、E两点，P是线段的中点，轴与抛物线n相交于点F． ①若，求m的值； ②求的的面积（用含m的代数式表示）． 9．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．    (1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式； (2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值； (3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点P在所在直线下方的抛物线上，过点P作轴，交于点D．                                     备用图 (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接，问是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图：已知二次函数的图像与x轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中．    (1)求该抛物线的解析式． (2)P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C构成的三角形的面积最大，求出此时P点的坐标． (3)若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，是以为直角边的直角三角形，求出此时点M的坐标． 12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，其中点在原点左侧，抛物线与轴负半轴交于点，，拋物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若该抛物线与直线交于点，，，为抛物线对称轴上一点，连接并延长，交抛物线于点，连接交拋物线对称轴于点， ①如图2，若，直线交对称轴于点，，求的长度； ②求证：不论取何值，抛物线上都存在定点，使得是以为底边的等腰三角形． 13．如图，抛物线过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且