2023-2024学年人教版数学九年级上册期末专题复习：二次函数中特殊三角形问题

人教版九年级上册数学期末专题复习：二次函数中特殊三角形问题 1．综合与探究 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线和直线的函数解析式． (2)是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．若二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数最大值与最小值的差； (3)在二次函数图象上任取一点，其横坐标为．点在二次函数图象的对称轴上．若以点，，为顶点三角形是以为直角的等腰三角形．求点的坐标． 3．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点．设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？此时的值是多少？ (3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与y轴交于点，与轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与直线交于点E． (1)求抛物线的解析式： (2)若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由： (3)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，直线交x轴于点B、y轴于点C，抛物线经过点B，点C，且过，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的表达式； (2)动点P运动到什么位置时，的面积最大？若存在，请求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点P作轴，垂足为点M，交于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由； 7．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)抛物线对称轴上的点P，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”．此题中，是否存在“圣和点”．若存在，请求出“圣和点”P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及此时点M的坐标； (3)在（2）的条件下：当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(-1，0)和点B(4，0)，与y轴交于点C，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点，过点P作PD⊥BC于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)当PD取得最大值时，求点P的坐标和PD的最大值； (3)将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，Q为新抛物线对称轴上的一点．当（2）中PD取得最大值时，直接写出使以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形的点Q的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，为直线上方的抛物线上任意一点，，垂足为，求线段长的最大值． (3)将抛物线沿射线平移，，的对应点分别为，，当以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 11．综合与实践 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交于点E． (1)求直线的函数表达式；