9.2 向量运算（十二大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

9．2 向量运算 课程标准 学习目标 （1）能按照向量加、减法的研究路径，类比数的乘法，定义平面向量数乘运算及运算规则，说明其几何意义；能类比数的乘法提出并作图证明向量数乘运算的运算律；能从研究向量数乘运算的结果人手，从向量共线的概念出发，提出并解释两个向量共线的充要条件． （2）能按照研究向量运算的一般路径，以物理中的功为背景，提出并解释平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积；能类比平面向量的线性运算提出并作图证明数量积运算的性质；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，解决向量的模、夹角等问题． （3）能作图说明向量向向量的投影变换，并结合图形直观解释向量在向量方向上的投影向量，得出向量在向量方向上的投影向量的表达式． （1）理解并掌握向量加法的概念． （2）掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算． （3）掌握向量减法的几何意义． （4）掌握向量数量积的定义及投影向量．3．会计算平面向量的数量积． （5）会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 知识点01 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 3、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 4、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 5、向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 【即学即练1】（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    知识点02 向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【即学即练2】（2024·高一课时练习）化简： ； ； . 知识点03 数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 【即学即练3】（2024·高二课时练习）已知，则 . 知识点04 向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点