第二章一元二次方程解题策略与例题习题分析 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

一元二次方程的解题策略与例题讲解 ▲前言：本章主要考虑的是一元二次方程的一般形式中的a,b,c与解，以及三者之间关系。因此，凡是不是一般形式的必须化成一般形式，这是解题之前必须做的准备，切记不要忘记。 一、一元一次方程: 一)基础篇 1.基本概念: 整式方程化简成§一般形式§所得：▲ ⑴化简方法：含分母去分母，有小数变整数，合并向等号左边移项，使得等号右边为0. ①含有【一个】未知数（一元)； ②未知数【最高】次数为2。 ③最高次项【系数】不等于0 ▲④分母和根号下不能有字母。 ▲判断是不是一元二次方程就看：字母是不是只有1个，次数是不是2，字母在根号下和分母没有,▲▲解题时所有不是一般式的必须整理成一般式再做题。(特重点) ⑵整式方程：等号两边都是【整式】的方程叫整式方程。 注： ①整式方程就是【分母和根号下不含字母】的所有方程。 ②▲一般从初三开始，一般只有x,y,z为未知数，未知数个数可以是一个或多个，次数可为1次，2次，直到n次，可不管次数和未知数。 ③一元一次方程和一元二次方程属于整式方程的一种。 ▲注:判断是不是整式只需看分母和根号下有无字母及有无等号，有字母分式方程，无字母整式方程。（特重点） 1例题:判断下列方程那些是一元一次方程，那些是一元二次方程? ⑴⑶⑷； ⑸；⑹；⑺。 解析:⑴⑹最高次都是2，注意⑹虽然有根号，但根号下是数不是字母，莫选错。 ⑵⑷是一次函数，最高次是1，注意⑷不是一般形式，整理发现不含二次项是一次函数。 ⑶有两种情况：因a是二次项系数，必有时是一元二次方程，那么当时是什么方程呢，通过观察发现是一元一次方程。 对于⑸⑺，很容易看出⑸中根号下有字母，⑹中分母有字母，所以都不是整式方程，既不是一元一次方程也不是一元二次方程。 变式练习1: 下列哪些是关于x的整式方程、一元一次方程、一元二次方程。 ⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹⑺；⑻；⑼⑽ 整式 ；一元一次方程 ；一元二次方程 2. 一元二次方程的一般形式及各项： ⑴一般形式： ⑵最高次项（二次项）：。 ⑶一次项： ⑷常数项:。 例题2：把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数，及常数项。 ⑴ ⑵ 解析：⑴展开合并得到，二次项系数为5，一次项系数为1，常数项为-4； ⑵展开合并得到，二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为1。 注：▲展开的方法利用初二学习的乘法公式： 说明：一般两个括号，第一括号中第一项表示1，第二项为2，第二个括号中，第一个表示1，第二个表示2，▲【则11表示前括号第一项乘后括号第一项，以此类推,另外乘数前，先将数前符号相乘，法则：同号为正，异号为负。】 公式如下： ⑴ ；口诀:11+12+21+22。 ⑵；口诀:11+12+13. ⑶；口诀：11+12+13+21+22+23 ⑷口诀:11+12+13+21+22+23+31+32+33 ⑸，口诀:2，仅大2表示数， ⑹，口诀：。 注：以上口诀数代表的不是数，只是代表的位数， 变式练习2：把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数，及常数项。 (1) ；(2) ；(3) ⑷（8-2x）（5-2x）=18 ； ⑸（x+1）2+（x-2）（x+2）=�1 （6）7x－3=2x2;（7）(2x－1)－3x(x－2)=0 ； （8） 2x(x－1)=3(x＋5)－4. 3.中学方程分类 4.一元二次方程的根（解）有两个，如果题中已知它的根，那么直接将根值代入方程求解。 5.根据2发现a有范围要求，而c,b无范围要求的原因。 ⑴关于b： 当b=0时，依然是一元二次方程，此时方程为，相当于是向上或向下平移c个单位长度.必然是一元二次方程。 ⑵关于c， 当c=0时，依然是一元二次方程，此时为，时也是一样。 当b=0,c=0时，方程为，解为。 ⑶时，一元二次方程变成了一元一次方程，由变成，只有时才是一元二次方程。 ▲注：决定是一元二次方程是由决定，因中b,c不管是等于0还是不等于0都是一元二次方程，只有a等于0不是。 例题3：⑴已知关于x的一元二次方程的一根为0，则a的值为多少。 ⑵关于x的方程有一根为0，则的值是多少。 解题关键：准确判断出二次项、一次项的系数和常数项，再由已知根带根值进方程；最后考虑二次项系数不为0 解：⑴由题知， 将x=0带入，得 即。 又由二次项系数，即 故a=1 ⑵由题知， 将x=0代入，得 ，即， 故当时，=3， 当时，为一元一次方程，符合题意，有=19 所以，所求代数式的值为3,19. 注:⑵中只是方程，并不像⑴中是一元二次方程。所以-