2023年中考数学高频压轴题训练——二次函数与三角形

2023年中考数学高频压轴题训练——二次函数与三角形 1．如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线经过点C，交y轴于点G． （1）求C，D坐标； （2）已知抛物线顶点上，且经过C，D，若抛物线与y交于点M连接MC，设点Q是线段下方此抛物线上一点，当点Q运动到什么位置时，△MCQ的面积最大？求出此时点Q的坐标和面积的最大值． （3）将（2）中抛物线沿直线平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG为等腰三角形？若存在，请求 出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是． (1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标． (2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由． (3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？ 3．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”． （1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边AB的长； ②抛物线与的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ； （2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值； （3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为n，且的最大值为-1，求m，n的值． 4．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A．B两点的坐标分别为A（，B，AB中点P的坐标为．由，得，同理，所以AB的中点坐标为（，）．由勾股定理得，所以A、B两点间的距离公式为AB=． 注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题： 如图2，直线l：与抛物线交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C． （1）求A、B两点的坐标及P、C两点的坐标； （2）连结AB、AC，求证：△ABC为直角三角形； （3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离． 5．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标． 6．如图1所示，已知抛物线的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上． （1）直接写出D点和E点的坐标； （2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，=5：6； （3）图2所示的抛物线是由向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点． （1）则点A、B、C的坐标分别是A（__，__），B（__，__），C（__，__）； （2）设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形．如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．已知抛物线交y轴于点A，交x轴于点B,C（点B在点C的右侧）．如图，过点A作垂直于y轴的直线l. 在y轴右侧、位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q，交x轴于R，连接AP． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标； （3）若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M. 是否存在点P，使得点M落在x轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线（）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H． （1）求a、c的值． （2）连接