2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标． 2．如图1，直线l：y=﹣x+5与抛物线y=x2+bx+c交于坐标轴上两点B，C，且抛物线与x轴另一交点为点A． （1）求抛物线解析式； （2）若将直线l向下平移m个单位长度后，得到的直线l'与抛物线只有一个公共点D，求m的值及D点坐标； （3）取BC中点N，过点N作MN∥y轴交抛物线于点M，如图2．若点P是坐标轴上一点，是否存在以C，B，P为顶点的三角形与△CMN相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为M（1，4），与x轴的右交点为A，与y轴的交点为B，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，且S△ABC＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是y轴上一点，将点D绕C点逆时针旋转90°得到点E，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出点D的坐标； （3）设抛物线的对称轴与直线AB交于点F，问：在x轴上是否存在点P，使得以P、A、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由      4．平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P． （1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；                     （2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值； （3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标． 5．如图1，已知抛物线经过点（9，10），交轴于点，直线∥轴，点是直线下方抛物线上的动点． （1）直接写出抛物线的解析式为 ，点的坐标为 、的坐标为 _； （2）过点且与轴平行的直线与直线、分别交于点、，当四边形的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点． （1）求△AOB的外接圆的面积； （2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动．问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？ （3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N． ①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBAN面积的最大值． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D． （1）求b、c的值； （2）当t为何值时，点D落在抛物线上； （3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由． 8．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．该抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由． (3)探究坐标轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？ （3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知：直线y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过点A、C、E，且点E（6，7） （1）求抛物线的解析式. （2）在直线A