重庆市南开中学校2023-2024学年高三上学期第五次质量检测数学试卷

**基本信息** 重庆南开中学高三数学月考试卷，以新能源渗透率、数学文化节等现实情境为载体，通过“切合函数”新定义问题考查逻辑推理，体现数学应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、三角函数、函数性质|基础概念辨析，如共轭复数、二面角计算| |多选|4/20|数列性质、圆的切线、概率应用|数学文化节概率问题（第11题），多维度考查| |填空|4/20|三角求值、数列递推、椭圆离心率|向量模最值（第16题），空间想象与运算| |解答|6/70|解三角形、统计回归、立体几何、双曲线、新定义函数|新能源渗透率回归分析（第19题），“切合函数”逻辑证明（第22题）|

重庆市高2024届高三第五次质量检测 数学试题 命审单位：重庆南开中学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.已知复数，复数的共轭复数为若，则（ ） A.2 B. C. D.8 2.函数的图象的一条对称轴方程是（ ） A. B. C. D. 3.已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4.已知展开式中各项系数之和为3，则展开式中的系数为（ ） A.-10 B.-11 C.-13 D.-15 5.已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（ ） A.14 B.17 C.20 D.23 6.已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且满足，若的面积为，则的值为（ ） A.3 B.4 C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分. 9.已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则（ ） A.是等差数列 B.是等比数列 C.为递增数列 D.最大项有两项 10.已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为，则（ ） A.直线恒过定点 B.最小值为 C.的最小值为 D.满足的点有且只有一个 11.某中学为了提高同学们学习数学的兴趣，激发学习数学的热情，在初一年级举办了以“智趣数学，“渝”你相约”为主题的数学文化节活动，活动设置了各种精彩纷呈的数学小游戏，其中有一个游戏就是数学知识问答比赛.比赛满分100分，分为初赛和附加赛，初赛不低于75的才有资格进入附加赛（有参赛资格且未获一等奖的同学都必须参加）.奖励规则设置如下：初赛分数在直接获一等奖，初赛分数在获二等奖，但通过附加赛有的概率升为一等奖，初赛分数在获三等奖，但通过附加赛有的概率升为二等奖（最多只能升一级，不降级），已知A同学和B同学都参加了本次比赛，且A同学在初赛获得了二等奖，根据B同学的实力评估可知他在初赛获一､二､三等奖的概率分别为，已知4，B获奖情况相互独立.则下列说法正确的有（ ） A.B同学最终获二等奖的概率为 B.B同学最终获一等奖的概率大于A同学获一等奖的概率 C.B同学初赛获得二等奖且B最终获奖等级不低于A同学的概率为 D.在B同学最终获奖等级不低于A同学的情况下，其初赛获三等奖的概率为 12.如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（ ） A.存在点满足平面平面 B.当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为 C.若，则最小值为 D.若，则点的轨迹长为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知角终边上有一点，则__________. 14.已知数列满足，若，则__________. 15.已知椭圆的左右焦点分别为，过椭圆外一点和上顶点的直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为__________. 16.平面向量满足，则最大值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.如图，在平面四边形中，为钝角三角形，为与的交点，若，且 （1）求的大小； （2）求的面积. 18.已知数列前项和为，且满足__________. ①首项，均有 ②，均有且 请从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题： （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和的表达式 19.新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了28.2%，提前三年超过了“十四五”预定的20%的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月