5.2.1 三角函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.1三角函数的概念 1 引导语:在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的周期现象,比如日出日落、钟摆运动等,匀速圆周运动是这类现象的代表 实际问题：摩天轮转动过程中如何刻画座舱的位置变化？ 提出问题 寻找变量 数学问题：随着 POA的变化，动点P在半径为r的圆上作圆周运动 抽象为 那么如何从函数的角度来刻画它呢？ 今天我们继续按照研究函数的一般套路来展开探究。 我们知道，函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型。 如：直线运动-----一次函数；抛物运动-----二次函数； 指数爆炸-----指数函数；对数增长-----对数函数； 那么圆周运动-----用什么函数模型刻画呢？ 提出问题，引导探索 函数问题的研究路径： 背景-定义-图象-性质-应用 4 在弧度制下，我们已经把角的范围扩展到全体实数. 引导探索，形成概念 【探究一】以单位圆圆心O为原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y) 射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向 旋转角，终止位置为OP. 问题1：在P点的运动过程中，有哪些变量？ 角终边OP、交点P的坐标 问题2：当时，P点的坐标是什么？当时，点P的坐标又是什么？   问题3：求点P坐标的步骤是什么？ 过点P作x轴的垂线 利用直角三角形的性质 根据象限写出点P的坐标 问题4：任意给定一个角, 终边与单位圆的交点P的坐标唯一确定吗？那么能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？ 这里有两个对应关系： ：实数（弧度）对应于点P的纵坐标y ① ：实数（弧度）对应于点P的横坐标x ② 所以，点P的横坐标x，纵坐标y都是角函数。 当∠α变化的时候，点P的坐标情况 2 α 0 π ...... P点的横坐标x 1 ...... 点P的纵坐标y 0 1 0 ...... π 6 π 4 π 3 2π 3 7π 6 11π 4 π 2                             追问1： 当∠α=时，sinα,cosα,tanα的值是多少？其取值与角α的终边和单位圆的交点坐标之间有什么关系？ 当∠α变化的时候，点P的坐标情况 2 α 0 π ...... P点的横坐标x 1 ...... 点P的纵坐标y 0 1 0 ...... π 6 π 4 π 3 2π 3 7π 6 11π 4 π 2                             追问2：任意给定一个角其终边与单位圆的交点是P（x,y）,那么sinα,cosα,tanα的值与P点坐标之间的关系？ 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y) (1)y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα; (2)x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα; (3) 叫做α的正切，记作tanα，即 引导探索，形成概念 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 习惯上，我们用x表示自变量，y表示因变量，通常它们记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 概念辨析 追问：任意角的三角函数的定义域分别是什么呢？ 对任意角，正弦值、余弦值总有意义 当的终边在y轴上时，点P 的横坐标等于0， 无意义，此时 初中定义 高中定义 联系 函数值符号 值均为正数 可正可负可零 角的范围 锐角 任意角 高中三角函数的定义统一和兼容了初中三角函数的定义 函数值定义 边长比值 终边上点的坐标 ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ 问题5：初中也有三角函数,那初高中的定义有什么区别和联系? 例1：利用三角函数的定义求 的正弦、余弦和正切值。 知识应用 合作交流 算比值（对正切函数） 画终边 找交点坐标 追问：三个三角函数值 请说出角值。 问题8： 如果改变角α终边上点P的位置，三角函数值是否会改变呢？ 知识应用 合作交流 例2:如图，∠α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r； 求证： 证明： 设∠α的终边与单位圆交于点P0（x0，y0），分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则： α 例2:如图，∠α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r； 求证： 证明： 由此可知，只要知道∠α终边上任意一点P的坐标，就可以求得∠α的三个三角函数值。 α 终边上任一点三角函数定义： 归纳 知识应用 合作交流 小结：当点的坐标 含有参数时， 应分类讨论． 周期现象 单位圆上的圆周运动 特殊化 几何对应 三角函数 定义 表示 辨析 …… 反思凝练，感悟升华 【课堂反馈 】