第5.1.2讲 导数的概念及其几何意义-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第二、三册）

第四章 导数及其应用 第5.1.2讲导数的概念及其几何意义 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．　 2.体会极限思想，会利用导数求函数在某点处的导数．　 3.借助函数的图象直观理解导数的几何意义． 1、 求函数在某一点处的导数 2、已知某处的导数值求参数或自变量 3、导数几何意义的应用 知识点一　导数的概念 1．函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．比值＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．函数f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝＝_． (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在．(2)导数是一个局部概念，与Δx无关，导数的实质是一个极限值． 知识点二　导数的几何意义 1．切线的定义 如图所示，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，则k0＝＝f′(x0)． (1)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢． 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，则当x变化时，f′(x)就是x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝y′＝． (1)f′(x0)是具体的值，是数值． (2)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 题型1、求函数在某一点处的导数 1．有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A．5 B．7 C．10 D．13 2．已知函数，为的导函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，是函数的图象及其在点处的切线，则等于（    ） A． B．0 C．2 D． 4．已知函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．若在R上可导， 则=（    ） A．16 B．54 C．－25 D．－16 题型2、已知某处的导数值求参数或自变量 6．若曲线与y=2x+1相切，则实数a=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设，若，则等于（    ） A． B． C． D． 8．函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B．1 C．2 D．0 9．已知函数与的图象在处有相同的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．或1 10．如图所示，函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（    ） A．0 B．1 C．－1 D．2 题型3、导数几何意义的应用 11．已知曲线在处的切线过点，其中，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 12．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 13．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，求出了精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（    ） A．1.0005 B．1.0001 C．1.005 D．1.001 14．过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（    ） A．-1 B．1 C． D． 15．若过点可作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D．不存在 2．曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，在点处的切线方程