1.4 角平分线 角平分线的性质与判定 课件-2023-2024学年 北师大版 八年级数学下册

第一章 三角形的证明 第9课 角平分线的性质与判定 数学(RS版) 八年级下册 角平分线的性质 1．性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离 ⁠． 几何语言： ∵ ， ， ⁠， ∴ ⁠． 相等　 AP平分∠BAC　 PB⊥AB　 PC⊥AC　 PB＝PC　 新课学习 2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点 D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ ，CE＝ ⁠． 3　 4　 例1 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC. 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)． ∴EB＝FC. 3.如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE交于点O，连接 AO，∠1＝∠2.求证：OB＝OC. 证明：∵∠1＝∠2，∴AO是∠BAC的平分线． ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴DO＝EO，∠BDO＝∠CEO＝90°. 在△BDO和△CEO中， ∴△BDO≌△CEO(ASA)． ∴OB＝OC. 角平分线的判定 4.判定：在一个角的内部，到角的两边距离 ⁠的点在这个角的平分 线上． 几何语言： ∵PB⊥AB， ， ⁠， ∴AP平分∠BAC，即∠BAP＝∠CAP. 相等　 PC⊥AC　 PB＝PC　 5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD ＝30°，则∠DCE＝（　A　） A.30° B．40° C．50° D．60° A 例2 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂 足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∵BE＝CF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)． ∴DE＝DF. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC. 6.如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D为AC边上的点，DE⊥AB， DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF＝ .求线段BE的长． 解：如图，连接BD. ∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴BD平分∠ABC. ∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°. 在Rt△BDE中，DE＝，∠DBE＝30°， ∴BD＝2DE＝2.∴BE＝＝3. 1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分 ∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ ，∠ADC＝ ⁠°. 2　 50　 基础巩固 2．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为点A， B.下列结论中不一定成立的是（　D　） A.PA＝PB B．PO平分∠APB C.OA＝OB D．AB垂直平分OP D 3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BD平分∠ABC 且与AC边交于点D，AC＝3，则点D到边BC的距离是 ⁠． 1　 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点 D，CD＝2，点Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（　A　） A．2 B．2 C. D. A 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，DE⊥AB 于点E，且DE＝DC. (1)求证：BD平分∠ABC； (2)若∠A＝38°，求∠DBC的度数． (1)证明：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC. ∵DE⊥AB，DE＝DC，∴BD平分∠ABC. (2)解：∵∠C＝90°，∠A＝38°，∴∠ABC＝52°. 由(1)知，BD平分∠ABC.∴∠DBC＝∠ABC＝26°. 6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交 BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E.若DE＝1，则BC＝________ ⁠． 2＋　 7．如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线 OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分 线．”这样说的依据是