1.4角平分线 三角形中角平分线的性质-讲练课件-2023-2024学年 北师大版 八年级数学下册

第一章 三角形的证明 第10课 三角形中角平分线的性质 数学(RS版) 八年级下册 三角形中角平分线的性质 1.三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离 相等． 新课学习 例1 如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点P.过点P作PD⊥AB， PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为点D，M，N.求证：PD＝PM＝PN，且 点P在∠A的平分线上． 证明：∵BE平分∠ABC，点P在BE上， PD⊥AB，PM⊥BC，∴PD＝PM. 同理，PM＝PN. ∴PD＝PM＝PN. ∵PD⊥AB，PN⊥AC，∴点P在∠A的平分线上． 2.如图，BP，CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M， PN⊥AC于点N.求证：AP平分∠MAN. 证明：作PD⊥BC于点D，如图． ∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC， ∴PM＝PD. 同理，PN＝PD.∴PM＝PN. ∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴AP平分∠MAN. 例2 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°， 则∠BOC＝（　A　） A.110° B.115° C.125° D.130° A 3．如图，已知△ABC的周长是30，BO，CO分别平分∠ABC和 ∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积为 ⁠． 45　 例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC的角 平分线，DE⊥AB，垂足为点E. (1)已知BD＝3 cm，求AC的长； (1)解：∵∠C＝90°，∠B＝45°， ∴∠CAB＝45°＝∠B.∴AC＝BC. ∵DE⊥AB，∴∠BDE＝45°.∴DE＝BE. ∵DE2＋BE2＝BD2，∴2DE2＝(3)2.解得DE＝3(负值已舍)． ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝3 cm. ∴BC＝CD＋BD＝(3＋3)cm.∴AC＝(3＋3)cm. (2)求证：AB＝BC＋CD. (2)证明：由(1)知，DE＝BE，CD＝DE.∴CD＝BE. 在Rt△ADC和Rt△ADE中， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)．∴AC＝AE. 由(1)知，AC＝BC. ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD＝BC＋CD. 1．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下列 结论中正确的是（　B　） A.∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2 B 基础巩固 2．如图，点O到△ABC三边的距离相等，∠AOC＝132°，则 ∠ABC＝ ⁠. 84°　 3．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，连接 AO并延长交BC于点D，OH⊥BC于点H.若∠BAC＝60°，OH＝5，则 OA＝ ⁠． 10　 4．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库． (1)如果要求油库到两条公路AB，AC的距离相等，那么如何选择油 库的位置？ (2)如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的 位置？ 解：(1)如图所示，油库的位置在射线AD上． (2)如图所示，油库的位置应该在两条角平 分线AD与BE的交点O上． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分 线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别是点D，E，F，且 AB＝17，BC＝15，则OF，OE，OD的长度分别是（　B　） A.2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．5，5，5 B 6．【拓展题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°， AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F. (1)请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由． 解：(1)FE＝FD.理由如下： 如图1，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N. ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°－∠B＝30°. ∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠BAC＝15°. ∴∠FEM＝∠BAC＋∠ACE＝30°＋45°＝75°， ∠FDN＝∠B＋∠BAD＝60°＋15°＝75°.∴∠FEM＝∠FDN. ∵∠BAC，∠BCA的平分线AD，CE交于点F， ∴点F在∠ABC的平分线上． 又∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴∠EMF＝∠DNF，FM＝FN. ∴△FEM≌△FDN(AAS)．∴FE＝FD. (2)如图2，如果∠ACB不是直角，其他条件不变，(1)中所得结论是 否仍然成立？请说明理由． (2)成立．理由如下： 如图2，过点F作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H. 易得FG＝F