1.3线段垂直平分线 线段垂直平分线的性质与判定-讲练课件-2023-2024学年 北师大版 八年级数学下册

第一章 三角形的证明 第7课 线段垂直平分线的性质与判定 数学(RS版) 八年级下册 线段垂直平分线的性质 1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ⁠． 几何语言： ∵CD是AB的垂直平分线， ∴ ⁠． 相等　 AC＝BC　 新课学习 2.如图，CD是AB的垂直平分线，垂足为点D. (1)AD＝________，∠ADC＝ °，AC＝ ⁠； (2)若AD＝4，AC＝5，则△ABC的周长为 ⁠. BD或(AB)　 90　 BC　 18　 例1 如图，AD是BC的垂直平分线，点M是AD上一点．求证： ∠ABM＝∠ACM. 证明：∵AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC，MB＝MC. ∴∠ABC＝∠ACB，∠MBC＝∠MCB. ∴∠ABC－∠MBC＝∠ACB－∠MCB. ∴∠ABM＝∠ACM. 3.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC的延长线于 点E，连接AE，若∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数． 解：∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC. ∴∠CAE＝∠ECA. ∵∠B＝50°，∠BAC＝21°， ∴∠ECA＝∠B＋∠BAC＝71°. ∴∠CAE＝71°. 线段垂直平分线的判定 4.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 ⁠ 上 . 几何语言： ∵ ⁠， ∴点P在AB的垂直平分线上． 垂直平分 线　 AP＝BP　 5.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是 （　D　） A.AO＝BO B.PO⊥AB C.PO是AB的垂直平分线 D.点P在AB的垂直平分线上 D 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝ OC.求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵OB＝OC， ∴点O在线段BC的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线， ∴直线AO垂直平分线段BC. 6.如图，AB＝AC，DB＝DC，点E是AD延长线上的一点，BE是否与 CE相等？试说明理由． 解：BE＝CE.理由如下： 如图，连接BC.∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵DB＝DC，∴点D也在线段BC的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线，∴AD是线段BC的垂直平分线． ∵点E是AD延长线上的一点，∴BE＝CE. 1．如图，线段AC的垂直平分线DE交线段AB于点D，∠A＝50°， 则∠BDC＝（　B　） A．50° B．100° C．110° D．120° B 基础巩固 2．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于点M，交BC于点 N，若AB＝3，BC＝13，则△ABN的周长是（　C　） A．10 B．13 C．16 D．无法确定 C 3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则 CE的长为 ⁠． 6　 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，边BC的垂直平分线MN经 过点A.求证：点A在CD的垂直平分线上． 证明：如图，连接AC. ∵MN垂直平分BC， ∴AB＝AC. ∵AB＝AD， ∴AC＝AD. ∴点A在CD的垂直平分线上． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°. (1)用尺规作出AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E； (2)求证：AE＝2CE. (1)解：如图，DE即为所作． (2)证明：如图，连接BE. ∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∴∠EBA＝∠A＝30°. ∵∠ABC＝90°－∠A＝60°，∴∠CBE＝30°. ∵∠C＝90°，∴BE＝2CE.∴AE＝2CE. 6．【拓展题】如图，在△ABC中，若MP和NQ分别垂直平分AB和 AC. (1)若BC＝15，求△APQ的周长； 解：(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB，AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ. ∴△APQ的周长＝AP＋AQ＋PQ＝BP＋CQ＋PQ＝BC＝15. (2)若∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数． 解：(2)∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°. ∵MP，NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ. ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C. ∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝75°. ∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°. 1．如图，直线l垂直平分线段AB，点P是l上