3.2.2双曲线的简单几何性质1课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 双曲线定义及标准方程 定义 图象 方程 焦点 a，b，c 的关系 | |MF1|-|MF2| |=2a（0<2a<|F1F2|） F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c) F2 F1 M x O y O M F2 F1 x y ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率； ⑤准线方程等 双曲线是否具有类似的性质呢? 思考回顾 椭圆有哪些简单几何性质？ 双曲线 的简单几何性质 1、范围： 课堂新授 x y O -a a 说明：双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域. 双曲线 的简单几何性质 课堂新授 2、对称性： 关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴， 原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。 x y O -a a (-x，-y) (-x，y) (x，y)) (x，-y) 双曲线 的简单几何性质 课堂新授 3、顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 x y O -b b -a a (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 顶点是A1(-a，0)、A2(a，0) (2)如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长 令 y=0，得x=±a，说明椭圆与x轴的交点： 令 x=0，得y2=-b2，无实数解，说明椭圆与y轴无交点 B2(0，b) A2(a，0) B1(0，-b) A1(-a，0) 双曲线 的简单几何性质 课堂新授 4、渐近线 x y o a b (3)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 Q M 双曲线 的简单几何性质 课堂新授 5、离心率 ∵c>a>0 e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率 (2)e的范围： (3)e的含义： ∴e>1 双曲线 的简单几何性质 课堂新授 5、离心率 (4)等轴双曲线的离心率 (5) 导出双曲线 的简单几何性质 x y o -a a b -b (1)范围：y≥a，或y≤-a，x∈R (2)对称性：关于x轴、y轴、原点都对称 (4)渐近线: (5)离心率: (3)顶点：(0，-a)、(0，a) 课堂新授 性质 双曲线 图象 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 关于坐标轴和 原点都对称 小结 x≥a，或x≤-a， y∈R y≥a，或y≤-a， x∈R (±a，0) (0，±a) x y o x y o 课堂练习 1、求下列双曲线的渐近线方程： 例题解析 1、求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程. 解：把方程化为标准方程 可得：实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距 焦点坐标是(0，-5)，(0，5) 离心率： 渐近线方程： 课堂练习 2、已知双曲线顶点间的距离是16，离心率 ，焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标. 解：依题意可设双曲线的方程为 ∴2a=16，即a=8 ∴c=10 ∴渐近线方程： ∴b2=c2-a2=102-82=36 焦点坐标是F1(-10，0)，F2(10，0) 例题解析 3、求下列双曲线的标准方程： (1)与双曲线 有共同渐近线，且过点 (2)与双曲线 有公共焦点，且过点 法一：直接设标准方程，运用待定系数法.(一般要分类讨论) 解：(1)双曲线 的渐近线为 . 令x=-3，则y=±4 ∴双曲线焦点在x轴上. 例题解析 3、求下列双曲线的标准方程： (1)与双曲线 有共同渐近线，且过点 (2)与双曲线 有公共焦点，且过点 法二：巧设方程，运用待定系数法. 例题解析 3、求下列双曲线的标准方程： (1)与双曲线