3.2.1双曲线及其标准方程 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 定义 图像 方程 焦点 a，b，c间的关系 椭圆的标准方程 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) (-c,0)、(c,0) (0,-c)、(0,c) c2=a2-b2，a>c>0，a>b>0 分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上 做下面一个实验．(1)取一条拉链，拉开一部分．(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 复习引入 1、椭圆的定义 2、引入问题： 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a ( 2a>|F1F2|>0)的点的轨迹. 平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？ ①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， 上面两条合起来叫做双曲线 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点； ② |F1F2|=2c——焦距. (1)2a<2c； O F2 F1 M 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. (2)2a >0； 双曲线定义 说明： | |MF1| - |MF2| | = 2a (3)没有“绝对值”这个条件时，仅表示双曲线的一支. 常数等于|F1F2| 、大于|F1F2| 、等于0呢? 探究 ①常数等于|F1F2|(2a=2c)时 F2 F1 P M Q M 2a=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P，F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。 ②常数大于|F1F2|(2a>2c)时 2a>|F1F2|是不可能的，因为三角形两边之差小于第三边。此时无轨迹。 ③常数等于0(2a=0)时 ∵若常数2a=||MF1|－|MF2|| =0 则|MF1|=|MF2| 此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。 F1 F2 M 随堂练习 F1 F2 M F1 F2 M 1、试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？(F1、F2是两定点, |F1F2| =2c (0<a<c)) 当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 ； 当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 ； 若a=c，动点M的轨迹 ； 若a>c，动点M的轨迹 . 若a=0，动点M的是轨迹_______________________. 因此，在应用定义时，首先要考查 . 双曲线的右支 双曲线的左支 以F1、F2为端点的两条射线 不存在 2a与2c的大小 线段F1F2的垂直平分线 F2 F1 M x O y 求曲线方程的步骤： 双曲线的标准方程 1、建系. 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2、设点． 设M(x，y)，则F1(-c，0)，F2(c，0) 3、列式 |MF1| - |MF2|=±2a 4、化简 双曲线的标准方程 4、化简 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 若建系时，焦点在y轴上呢? F2 F1 M x o y o M F2 F1 x y c最大，a与b不能比较大小且c2=a2+b2 问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ (二次项系数为正，焦点在相应的轴上) 随堂练习 2、写出下列双曲线的焦点坐标及a a=3 F1(0，-5)，F2(0，5)， F1(-2，0)，F2(2，0)， 椭圆与双曲线之间的区别与联系 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦 点 a，b，c的关系 ||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a F(±c，0) F(±c，0) F(0，±c) F(0，±c) a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，c2=a2+b2，但a不一定大于b 随堂练习 3、下列方程各表示什么曲线？ 方程表示的曲线是双曲线 方程表示的曲线是双曲线的右支 方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点，指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。 当2c>2a时，注意是双曲线，还是其中一支。 例题解析 1、已知F1(-5，0)，F2(5，0)，