3.3.2抛物线的简单几何性质2课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线; 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 抛物线的离心率e是确定的,等于1; 抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 抛物线的通径为2p,2p越大,抛物线的张口越大. 1、范围: 2、对称性: 3、顶点: 4、离心率: 5、通径: 6、焦半径:点P(x0,y0)∈y2=2px,焦点 ,线段PF叫做焦半径, (点P到准线的距离.) 复习巩固 新课讲授 F x y 问题:你能说出直线与抛物线位置关系吗? 解由直线和抛物线方程组成的方程组:有二解、一解或无解。 相离 相切 相交 ——有公共点一个或二个; ——只有一个公共点; ——没有公共点。 分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形: 一种是直线平行于抛物线的对称轴; 另一种是直线与抛物线相切. 解:由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2) 可得ky2-4y+4(2k+1)=0 例题解析 1、已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y2=4x:(1)只有一个公共点;(2)有两个公共点;(3)没有公共点? 解:由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2) 可得ky2-4y+4(2k+1)=0 (1)当k=0时,由方程得y=1 把y=1代入y2=4x, (2)当k≠0时,方程的判别式为 =-16(2k2+k-1) ①由 =0,即2k2+k-1=0 方程组只有一个解 即直线与抛物线只有一个公共点 例题解析 1、已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y2=4x:(1)只有一个公共点;(2)有两个公共点;(3)没有公共点? ②由 >0,即2k2+k-1<0 方程组有两个解 即直线与抛物线有两个公共点 ③由 <0,即2k2+k-1>0 方程组没有实数解, 即直线与抛物线没有公共点 例题解析 1、已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y2=4x:(1)只有一个公共点;(2)有两个公共点;(3)没有公共点? 例题解析 1、已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y2=4x:(1)只有一个公共点;(2)有两个公共点;(3)没有公共点? 注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论 作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形 即直线与抛物线只有一个公共点 即直线与抛物线有两个公共点 即直线与抛物线没有公共点 判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交(一个交点) 计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 随堂练习 1、已知抛物线的方程为y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线:(1)只有一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少? 分析:本题与例1类型相似,方法一样,通过联立方程组求得. (1)b=1; (2)b<1; (3)b>1, 当直线与抛物线有公共点时,b的最大值当直线与抛物线相切时取得.其值为1 2、在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线l:4x+3y+46=0的距离最短,并求此距离。 . F 随堂练习 解二:直线与抛物线无交点 设抛物线上一点P(x0,y0) 则y02=64x0 ∴当y0=-24时,dmin=2 此时P(9,-24) 解一:设直线4x+3y+m=0与抛物线相切 3、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点,求|AB|的最小值。 随堂练习 解:如图设A(x1,y1),B(x2,y2) . F 则|AB|=|AF|+|BF|=(x1+x2)+p 当 =90 时,|AB|=2p 当 ≠90 时, 综上,当 =90 时,|AB|min=2p 4、已知实数x,y满足方程y2=4x,求函数 的最值 随堂练习 分析:本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题. 5、点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值 随堂练习 分析:本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题. zmin=-1 无最大值 6、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B,求AB中点的轨迹方程。 随堂练习 . F 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x,y) 7、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的最小值。 随堂练