3.3.2抛物线的简单几何性质1课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 复习巩固 1、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 2、抛物线的标准方程 y2=2px (p>0) 焦点坐标是 ,它的准线方程是 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 准线 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴,y轴,原点对称 ( a,0),(0, b) 长轴:2a,短轴:2b ( a,0) 实轴:2a,虚轴:2b 无 |x|≤a,|y|≤b |x|≥a,y∈R y x O A2 B2 A1 B1 . . F1(-c,0) F2(c,0) y B2 A1 A2 B1 x O . . F1(-c,0) F2(c,0) 探究新知 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法,你认为应研究抛物线 y2=2px(p>0)的哪些几何性质?如何研究这些性质? 1、范围 抛物线是无界曲线. x≥0,y∈R 利用y2≥0可得: x≥0 这条抛物线在y轴右侧; 开口与x轴的正向相同; x的值增大时,|y|也增大,抛物线向右上方和 右下方无限延伸. y x o K H F M l 探究新知 2、对称性 观察图象,不难发现,抛物线 y2 =2px(p>0)关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 注:抛物线只有一条对称轴,没有对称中心. 以-y代y,方程y2=2px不变,这条抛物线关于x轴对称, 对称轴过焦点,且与准线垂直. y x o K H F l 探究新知 3、顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 标准形式的抛物线的顶点就是原点O,坐标是(0,0). 抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率. 用e表示,e=1. 4、离心率 四种抛物线的几何性质的对比 方程 y2 = 2px(p>0) y2 = -2px(p>0) x2 = 2py(p>0) x2 = -2py(p>0) 图 形 焦点 准线 范围 对称性 顶点 离心率 l F y x O l F y x O l F y x O x≥0,y∈R l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) e=1 e=1 e=1 e=1 x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 例题解析 1、已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 ,求它的标准方程. 则将M点代入得: ,解得:p=2 解:由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0) 因此所求方程为:y2=4x 解惑提高 当焦点在x轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0); 当焦点在y轴上,开口方向不定时,设为x2=2my(m≠0),可避免讨论. 随堂练习 1、顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 的抛物线有几条,求它的标准方程. 随堂练习 2、求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)关于x轴对称,并且经过点M(5,-4); (2)关于y轴对称,准线经过点E(5,-5); (3)准线在y轴右侧,顶点到准线的距离是4; (4)焦点F在y轴负半轴上,经过横坐标为16的点P,且FP平行于准线. x2=20y x2=-32y y2=-16x 例题解析 2、斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求焦点弦长AB的长. 分析:由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标,又直线l的斜率为1,所以可以求出直线l的方程;与抛物线的方程联立,可以求出A,B两点的坐标;利用两点间的距离公式可以求出|AB|. 法一(直接法):由抛物线的方程可知,抛物线焦点的坐标为F(1,0), 所以直线AB的方程为y-0=1 (x-1),即y=x-1 ① 将方程①代入抛物线方程y2=4x,化简得x2-6x+1=0, 解这个方程,得 将x1,x2代入方程①中,得 法二:弦长公式 例题解析 2、斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求焦点弦长AB的长. 法三(数形结合):由右图,分别过A,B作垂线垂直于准线交于点A′,B′, 利用抛物线的定义可知 |AF|=|AA′|,|BF|=|BB′| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA′|+|BB′| =x1+1+x2+1 =x1+x2+2 在方法一中得到方程x2-6x+1=0后 根据根与系数的关系可以直接得到x1+x2=6, 于是立即可以求出|AB|=6+2=8 x y o A' F A B' B 3、过点M(2,0)作斜率为1的直线l,交抛物线y2=4x于两点A、B,求焦点,求|AB|. 随堂练习 解:设A(x1,y1),B(x2,y2) 直线l的方程为y =x-2,