3.2.2双曲线的简单几何性质2课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴,y轴,原点对称 ( a,0),(0, b) 长轴:2a,短轴:2b ( a,0) 实轴:2a,虚轴:2b 无 |x|≤a,|y|≤b |x|≥a,y∈R y x O A2 B2 A1 B1 . . F1(-c,0) F2(c,0) y B2 A1 A2 B1 x O . . F1(-c,0) F2(c,0) 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴,y轴,原点对称 ( a,0) 实轴:2a,虚轴:2b |x|≥a,y∈R y B2 A1 A2 B1 x O . . F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) x B1 y O . B2 A1 A2 . |y|≥a,x∈R (0, a) 实轴:2a,虚轴:2b 1、“共渐近线”的双曲线系方程 >0表示焦点在x轴上的双曲线; <0表示焦点在y轴上的双曲线。 2、“共焦点”的曲线系方程 例题解析 1、双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,如图,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m. 选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到1m). 解:根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在的平面建立如图所示的直角坐标系,使小圆的直径AA′在x轴上,圆心与原点重合. 这时上下口的直径CC′,BB′都平行于x轴,且|CC′|=13 2,|BB′|=25 2 点C的坐标为(13,y), A′ A O x y C′ C B′ B 13 12 25 则点B的坐标为(25,y-55). 因为直径AA′是实轴,∴a=12. 又B,C两点都在双曲线上,所以 解方程,得b≈25(负值舍去) 例题解析 2、点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线l: 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹. ∴点M的轨迹是双曲线. 解:设d是点M到直线 l 的距离. 根据题意,所求轨迹是集合 将上式两边平方,并化简,得:9x2-16y2=144 随堂练习 1、动点M(x,y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和它到定直线l: 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹方程. 这就是点M的轨迹方程, 点M的轨迹是实轴长为2a,虚轴长为2b的双曲线 令c2-a2=b2 1、双曲线的第二定义 动点M与一个定点F的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 ,则这个点的轨迹是双曲线. y . . F F ’ O M . x “三定”: 定点是焦点; 定直线是准线; 定值是离心率. 1、双曲线的第二定义 思考:中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的? x y o F1 F2 判断方法: ∆<0 ∆=0 ∆>0 (1)联立方程组 (2)消去一个未知数 1、复习:椭圆与直线的位置关系及判断方法 相离 相切 相交 2、直线与双曲线的位置关系 x y O x y O 相离:0个交点 相交:一个交点 相交:两个交点 相切:一个交点 2、直线与双曲线位置关系与交点个数 2、直线与双曲线的位置关系 3、代数法判断直线与双曲线的位置关系 2、直线与双曲线的位置关系 直线方程:y=kx+m 联立方程组,消去y,得: (b2-a2k2)x2-2ma2kx-a2m2-a2b2=0 (1)若b2-a2k2=0,上式为一元一次方程,方程一个解或无解,此时直线与渐近线平行或重合 重合:无交点;平行:有一个交点。 (2)若b2-a2k2≠0,上式为一元二次方程,计算 ① <0,直线与双曲线相离,没有交点. ② =0,直线与双曲线相切,有一个交点. ③ >0,直线与双曲线相交,有两个交点. 判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的 渐进线平行或重合 相交(一个交点) 计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 相离 特别注意: 直线与双曲线的位置关系中: 一解不一定相切, 相交不一定两解, 两解不一定同支 例题解析 3、已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线: (1)没有公共点; (2)有两个公共点; (3)只有一个公共点; (4)交于异支两点; (5)与左支交于两点. <0且1-k2≠0 >0且x1x2<0 >0且x1+x2<0,x1x2>0 随堂练习 2、过点P(1,1)与双曲线 只有一个交点的直线共有_条. x y O (1,1) 。 4 变题:将点P(1,1)改为 1、A(3,4) 2、B(3,0) 3、C(4,0) 4、D(0,0). 答案又是怎样的? 1、两条; 2、三条; 3、两