3.1.2椭圆的简单几何性质3 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 复习回顾 标准方程 图象 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 离心率 -a≤x≤a，-b≤y≤b 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (±a，0)、(0，±b) (c，0)、(-c，0) 长半轴长为a，短半轴长为b. a>b (±b，0)、(0，±a) (0，c)、(0，-c) (e越接近于1越扁) -b≤x≤b，-a≤y≤a 椭圆的几何性质 2c 由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下： 椭圆的第二定义： 平面内，到定点F(c，0)的距离与它到定直线 的距离之比是常数 (a>c>0)的动点的轨迹叫椭圆 一、直线与椭圆位置关系 例题讲解 1、如图，已知直线l：4x-5y+m=0和椭圆C： . m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？ 消去y， 得25x2+8mx+m2-225=0，① 方程①的根的判别式△=64m2-4×25(m2-225)， o x y l F1 F2 由△>0，得-25<m<25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点. 由△=0，得m1=25，m2=-25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有公共点. 由△<0，得m<-25，或m>25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点. 直线与椭圆的位置关系及判断: 1、相离: 2、相切: 3、相交: 直线与椭圆无交点 直线与椭圆有且只有一个交点 直线与椭圆有两个交点 直线与椭圆的位置关系的判定 △<0 ⇔方程组无解 ⇔相离 ⇔无交点 △=0 ⇔方程组有一解 ⇔相切 ⇔一个交点 △>0 ⇔相交 ⇔方程组有两解 ⇔两个交点 消去一个未知数mx2+nx+p=0(m≠0) 由方程的根判别式△=n2-4mp判断 这是求解直线与二次曲线有关问题的通法. 点与椭圆的位置关系及判断: 1、点在椭圆外 2、点在椭圆上 3、点在椭圆内 点P(x0，y0)、椭圆 随堂练习 1、直线y=x+1与椭圆 恒有公共点，求m的取值范围。 消去y，得(m+5)x2+10x+5-5m=0， 因为恒有公共点，所以△≥0，得100-4×(m+5)(5-5m)≥0， 解得m≥0或m≤-4 又因为m>0且m≠5 所以m>0且m≠5 随堂练习 2、直线y=kx+1与椭圆 恒有公共点，求m的取值范围。 所以m≥1且m≠5 解析：因为直线y=kx+1恒过点(0，1)， 所以只要点(0，1)在椭圆上或其内部即可 解得m≥1 因为m≠5 随堂练习 3、已知椭圆 ，直线l：4x-5y+40=0. 椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小?最小距离是多少? o x y l m 思考：直线与椭圆会相交吗？为什么？ 解：设直线m平行于l， 则m可写成：4x-5y+k=0， 消去y，得25x2+8ky+k2-225=0， 由△=0，得64k2-4×25(k2-225)=0， 问题：最大的距离呢？ 解得k1=25，k2=-25， 由图可知k=25， 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，设为d，则 二、弦长问题 例题讲解 2、如图，已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长. 解：∵a2=4，b2=1 B A O F 设直线l与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2) 小结：求直线y=kx+b被椭圆所截弦长计算公式： 设直线l与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则 当直线斜率不存在时，|AB|=|y1-y2| 随堂练习 4、已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. 解析：将椭圆5x2+9y2=45化为标准方程 可得右焦点F(2，0) 所以过点F(2，0)且斜率为1的直线为y=x-2 设直线l与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2) 消去y，得14x2-36x-9=0， 随堂练习 5、已知点F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点，过F2作倾斜角为 的直线交椭圆于A、B两点，求△F1AB的面积 分析：先画图熟悉题意， 点F1到直线AB的距离易知，要求S△F1AB，关键是求弦长AB. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线方程和椭圆方程联立方程组 随堂练习 5、已知点F1、F