3.1.2椭圆的简单几何性质2课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 复习回顾 标准方程 图象 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 离心率 -a≤x≤a，-b≤y≤b 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (±a，0)、(0，±b) (c，0)、(-c，0) 长半轴长为a，短半轴长为b. a>b (±b，0)、(0，±a) (0，c)、(0，-c) (e越接近于1越扁) -b≤x≤b，-a≤y≤a 椭圆的几何性质 2c 例题讲解 例6、点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l： 的距离的比等于常数 ，求M点的轨迹。 解：设d是点M到直线l： 的距离， 根据题意，点M(x,y)的轨迹是集合 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆 由此得 将上式两边平方，并化简，得9x2+25y2=225， 随堂练习 这是一个椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b (b2=a2-c2)的椭圆。 1、点M(x，y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线 的距离比是常数 (a>c>0)，求M点的轨迹。 解：设d是点M到直线l： 的距离， 根据题意，点M(x,y)的轨迹是集合 由此得 将上式两边平方，并化简，(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)， 推广： 椭圆的第二定义： o x y M l l′ F F′ 离心率的几何意义是： 椭圆上的点M到焦点F的距离和它到焦点F相对应的准线l的距离的比。 平面内，到定点F(c，0)的距离与它到定直线 的距离之比是常数 (a>c>0)的动点的轨迹叫椭圆 其中F(c，0)是椭圆的一个焦点， 称为相应于焦点F的准线。 由对称性，相应于焦点F′(-c，0)的椭圆的另一条准线是 思考：对于椭圆 的准线方程是什么? 相对应焦点F2(0，c)，准线方程是： 相对应焦点F1(0，- c)，准线方程是： O x F1 F2 M l l′ y M 由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下： 随堂练习 2、求下列椭圆焦点坐标和准线方程； 解：(1)∵a=5，b=4，c=3，∴焦点坐标是：(-3，0)、(3，0) 准线方程为： (2)∵a=4，b=2，c= ，∴焦点坐标是： 准线方程为： 随堂练习 3、设椭圆 上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，求P到右准线的距离. 解：∵m2>m2-1，∴由椭圆的定义知， 2m=3+1=4，∴m=2 ∴椭圆的方程为 设P到右准线的距离为d， 因为P到右焦点的距离为1 由椭圆的第二定义可得 所以d=2，即点P到右准线的距离等于2 4、椭圆 上一点到准线 与到焦点(-2，0)的距离的比是( ) 随堂练习 B 5、椭圆 的准线平行于x轴，则( ) C 6、已知椭圆 上一点P到右焦点F2的距离为2，求P到左准线的距离. 随堂练习 解：结合椭圆的方程可得，a2=16，b2=4，∴c2=12 由椭圆的第一定义可知，PF1=2a-PF2=8-2=6 设点P到其左准线的距离为d， 由椭圆的第二定义可知， 随堂练习 7、已知椭圆 上一点P到左准线的距离是 ，则P到右焦点的距离是______ 8 解析：结合椭圆的方程可得，a2=25，b2=9，∴c2=16 设点P到其左准线的距离为d， 由椭圆的第二定义可知， 解得PF1=2 由椭圆的第一定义可知，PF2=2a-PF1=10-2=8 所以点P到右焦点的距离是8. 8、椭圆 上一点P到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，P点的坐标是( ) 随堂练习 D 解析：结合椭圆的方程可得，a2=25，b2=9，∴c2=16 由椭圆的第一定义可知，|PF1|+|PF2|=2a=10 ∴点P到两焦点的距离之积为m满足： 当且仅当|PF1|=|PF2|=5时，m有最大值25 此时，点P位于椭圆短轴的顶点处，得P(0，3)或(0，-3) 随堂练习 9、P为椭圆 上一点，F1、F2为焦点，如果∠PF1F2=75，∠PF2F1=15，则椭圆的离心率为( )