3.1.2椭圆的简单几何性质1课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 复习回顾 1、椭圆的定义: 到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的动点P的轨迹叫做椭圆。 2、椭圆的标准方程是: 当焦点在x轴上时, 当焦点在y轴上时, 3、椭圆中a,b,c的关系是: 分母哪个大,焦点就在哪一根坐标轴上 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c>0) c2=a2-b2 椭圆 的简单几何性质 1、范围: 结论:椭圆落在x= a,y= b组成的矩形中 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x -a≤x≤a -b≤y≤b -a a -b b 椭圆 的简单几何性质 2、对称性: 从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看: (1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称; (2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称; (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象关于原点成中心对称。 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 椭圆的对称中心,也叫椭圆的中心。 椭圆 的简单几何性质 3、顶点: 令 x=0,得 y= b,说明椭圆与y轴的交点: 令 y=0,得 x= a,说明椭圆与x轴的交点: 顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,叫做椭圆的顶点。 长轴、短轴:线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x (0,b) (a,0) (0,-b) (-a,0) 2c叫焦距,c叫半焦距. 注:焦点位置与长轴位置一致 B2(0,b) A2(a,0) B1(0,-b) A1(-a,0) 随堂练习 1、根据前面所学有关知识画出下列椭圆的简图 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x o A2 A1 B1 B2 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x o B2 A2 B1 A1 椭圆 的简单几何性质 4、椭圆的离心率e: 观察下图,我们发现,不同形状的椭圆的扁平程度不同,相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗? 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x o A2 A1 B1 B2 椭圆 的简单几何性质 4、椭圆的离心率e: (刻画椭圆扁平程度的量) 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。 ①离心率的取值范围: 0<e<1 ②离心率对椭圆形状的影响: 1、e 越接近 1,c 就越接近 a,从而b就越小,椭圆就越扁 2、e 越接近 0,c 就越接近 0,从而b就越大,椭圆就越圆 ③e与a,b的关系: a,b,c,e 四者知二求二 随堂练习 2、(P112T5)比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,那一个更扁?为什么? 扁 圆 扁 圆 随着学习的深入,可以体会到,虽然 也能刻画椭圆的扁平程度,但 中a,c是确定圆锥曲线的基本量,不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度,而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性 总结 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 -a≤x≤a,-b≤y≤b 关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0,c)、(0,-c) (e越接近于1越扁) -b≤x≤b,-a≤y≤a 椭圆的几何性质 例题讲解 例4、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解:把方程化为标准方程: ∴长轴长2a=10,短轴长2b=8 ; 焦点坐标为(-3,0)、(3,0) 顶点坐标为(-5,0),(5,0),(0,4),(0,-4) 离心率 随堂练习 3、椭圆 的长轴位于_轴,长轴长等于_,短轴位于_轴,短轴长等于_,焦点在_轴上,焦点坐标分别是_和_; 离心率e=_;左顶点坐标是_,下顶点坐标是_; 椭圆上的点P(x0,y0)的横坐标的范围是x0∈_, 纵坐标的范围是y0 ∈_; x 4 y x (-1,0) (1,0) [-2,2] (-2,0) 随堂练习 4、(P112T3)求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在x轴上,a=6, ; (2)焦点在y轴上,c=3, 随堂练习 5、(P112T4)求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 解:(1)由题意知a=3,