3.1.1椭圆及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

问题1、用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个什么图形? 情景引入 问题2、如果改变圆锥的轴与截平面所成的角,那么会得到怎样的曲线呢? 答案:如图,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线, 答案:截口曲线是一个圆. 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conic sections). 它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 第三章 圆锥曲线的方程 圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系. 行星绕太阳运行的轨道 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 生活中的椭圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢? 情景引入 合作探究 取一条定长l的细绳,把它的两端固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么图形? 1、如果把细绳的两端拉开一段距离分别固定在图板的两点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的是什么图形? 2、改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 3、绳长能小于两图钉之间的距离吗? 画出来的轨迹是一个圆 椭圆 线段 不能 结论:平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹为: 1、若常数 > |F1F2|,则轨迹为椭圆 2、若常数 = |F1F2|,则轨迹为线段 3、若常数 < |F1F2|,则轨迹为不存在 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 两个焦点的距离叫做焦距(|F1F2|). 焦距的一半称为半焦距. M 通常记焦距为2c,常数即椭圆上的点M与F1, F2的距离和记为2a。 注意:椭圆定义中容易遗漏的地方: (1)两个定点间的距离——|F1F2|=2c (2)与两个定点F1,F2的距离的和等于常数a——|MF1|+|MF2|=2a (3)距离的和2a 大于焦距2c ,即2a>2c>0 结论:平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹为: 1、若常数 > |F1F2|,则轨迹为椭圆 2、若常数 = |F1F2|,则轨迹为线段 3、若常数 < |F1F2|,则轨迹为不存在 (即2a>2c) (即2a=2c) (即2a<2c) 合作探究 回忆如何求圆的方程 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、简洁 O x y M F1 F2 形式一 F1 F2 形式二 O x y M 合作探究 建构数学 以经过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). 设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距2c(c>0),M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c),则F1、F2的坐标分别是( c,0)、(c,0). x F1 F2 M O y (问题:下面怎样化简?) 由椭圆的定义得,限制条件:|MF1|+|MF2|=2a 代入坐标 椭圆的标准方程的推导 (-c,0) (c,0) (x,y) 整理得 两边再平方,得 移项后平方 x F1 F2 M O y 整理,得 观察右图,你能从中找出表示a,c, 的线段么? (-c,0) (c,0) (x,y) P 整理得 两边再平方,得 移项后平方 x F1 F2 M O y 整理,得 (-c,0) (c,0) (x,y) P 椭圆的标准方程 它表示: ①椭圆的焦点在x轴 ②焦点坐标为F1(-c,0)、F2(c,0) ③c2=a2-b2 x F1 F2 M O y 注意:椭圆定义中容易遗漏的地方: (1)两个定点间的距离——|F1F2|=2c (2)与两个定点F1,F2的距离的和等于常数——|MF1|+|MF2|=2a (3)2a>2c 思考:如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢? 它表示: ① 椭圆的焦点在y轴 ② 焦点坐标为F1(0,-c)、F2(0,c) ③ c2= a2-b2 合作探究 (0,-c) (0,c) (x,y) 总体印象:对称、简洁,“像”直线方程的截距式 焦点在y轴: 焦点在x轴: 椭圆的标准方程 o F2 y x F2 M y o F1 F2 M x 定义 图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系 F( c,0) F(0, c) c2=a2-b2(a>c>0,a>b>0) |MF1| + |MF2| = 2a (2a>2c>0) 两类标准方程的对照表 注: 共同点:椭圆的标准方程表示的是焦点在坐标轴上,中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1. 不同点:焦点在x轴的椭圆x2项分母较大.焦点在y轴的椭圆y2项分母较大. y o F1 F2 M x o F2 y x