2.5.1直线与圆的位置关系课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 情景导入 “海上生明月,天涯共此时”,这是唐代诗人张九龄的诗句。 从诗句中所反映的景象可以联想出哪些基本的几何图形呢? 它们有哪些位置关系呢? 新知初探 相交 相切 相离 一、 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 (2)直线和圆相切,只有一个公共点 (1)直线和圆相交,有两个公共点 (3)直线和圆相离,没有公共点 一、 直线与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系的判断方法 (1)回顾两直线的位置关系的判断方法 我们是通过联立两直线方程,求出解的个数来确定两直线的位置关系。 类似我们也可以通过联立直线与圆的方程求出解的个数来判断直线与圆的位置关系。 复习回顾 典例精析 1、已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4 =0,判断直线l与圆C的位置关系。 消去y,得: 思路1: 联立方程组: 代数法 x2-3x+2=0 消元(消x或y) 计算 (或直接求根) 判断符号(或根的个数) 得出结论 联立方程组 代数法的基本步骤: ∵ =(-3)2-4 1 2=1>0 ∴有两个公共点,直线l与圆相交 解得:x1=1,x2=2 ∴直线l与圆相交,有两个公共点 典例精析 1、已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4 =0,判断直线l与圆C的位置关系。 代数法 如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长 消去y,得: 思路1: 联立方程组: x2-3x+2=0 ∵ =(-3)2-4 1 2=1>0 ∴有两个公共点,直线l与圆相交 解得:x1=1,x2=2 ∴直线l与圆相交,有两个公共点 把x1=1,x2=2分别代入方程①,得y1=3,y2=0 ∴直线l与圆C的两个交点是A(1,3),B(2,0). 复习回顾 一、 直线与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系的判断方法 (2)回顾点与圆的位置关系的判断方法 方法:利用点到圆心O的距离为d与圆的半径为r的大小关系 点在圆外 d > r; 点在圆上 d = r; 点在圆内 d < r . 类似我们也可以利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断直线与圆的位置关系。 典例精析 1、已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4 =0,判断直线l与圆C的位置关系。 思路2: 几何法 将圆方程化为标准式为:x2+(y-1)2=5 ∴圆心坐标为(0,1),半径为 圆心到直线l的距离 ∴直线l与圆相交,有两个公共点. . x y O C A B l 几何法的基本步骤: 计算弦心距d 比较d,r 得出结论. 求圆心坐标和半径r 典例精析 1、已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4 =0,判断直线l与圆C的位置关系。 思路2: 几何法 将圆方程化为标准式为:x2+(y-1)2=5 ∴圆心坐标为(0,1),半径为 圆心到直线l的距离 ∴直线l与圆相交,有两个公共点. 如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长 . x y O C A B l 2、几何法:计算圆心到直线的距离d,与半径r相比较 运算量较大 请谨慎选择 方法总结 判断直线与圆的位置关系的方法 1、代数法:由 消元得一元二次方程的判别式 >0 相交; =0 相切; <0 相离. d < r 相交;d = r 相切;d > r 相离. 随堂练习 1、判断下列各组直线l与圆C的位置关系 (1)l:x-y+1=0 圆C:x2+y2=3 (2)l:3x+4y+2=0 圆C:x2+y2-2x=0 (3)l:x+y+3=0 圆C:x2+y2+2x=0 2、判断直线2x-y+2=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4的位置关系;如果相交,求出直线被圆截得的弦长. 相交 相切 相离 直线与圆相交,弦长为 典例精析 2、过点P(2,1)作圆O:x2+y2 =1的切线l,求切线l的方程。 二、直线与圆的位置关系综合应用——切线问题 x=2 法一: 由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得 解:由题意可知,斜率存在, 设切线l的斜率为k,则l的切线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0 因此,所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0 几何法 典例精析 2、过点P(2,1)作圆O:x2+y2 =1的切线l,求切线l的方程。 二、直线与圆的位置关系综合应用——切线问题 x=2 法二: 解:由题意可知,斜率存在, 设切线l的斜率为k,则l的切线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0 代数法 因为直线l与圆相切,所以方程组 只有一组解. 消元,得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0 因为方程只有一组解,所以 =(2k-4k2)2-4(k2+1)(4k2-4k)=0 因此,所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0 随堂练