2.4.2圆的一般方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 复习回顾 圆的标准方程是什么? 其中圆心的坐标和半径各是什么? (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心(a,b),半径r 由于a,b,r均为常数 探究新知 思考1、若把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后,会得出怎样的形式? x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F得 x2+y2+Dx+Ey+F=0 证明:将x2+y2+Dx+Ey+F=0进行配方,得 不一定。 探究新知 思考2、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是圆的方程吗? (1)当D2+E2-4F>0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆心为 (2)当D2+E2-4F=0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点 (3)当D2+E2-4F<0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形. 我们把D2+E2-4F叫圆的判别式,仍然记作 =D2+E2-4F 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 说明 (1)x2和y2的系数相同,且不等于零; (2)没有xy项,D2+E2-4F>0; 思考:圆的标准方程与一般方程各有什么优点? 标准方程:明确地指出了圆心和半径; 一般方程:更适合使用待定系数法求方程的解析式。 例题解析 1、求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程. 分析:若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 对比标准方程待定系数法求方程的区别优劣? 解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 把点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的坐标代入方程 解得D=-8,E=6,F=0 所以所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0 求圆的方程常用待定系数法的步骤 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F,得到标准方程或一般方程. 随堂训练 1、已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为 ,求圆的一般方程. ∵圆心在直线x+y-1=0上, 即D+E=-2 ① ∴D2+E2=20 ② 又∵圆心在第二象限, 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 探究新知 思考3、求轨迹方程与轨迹有什么区别? 轨迹是一个图形,比如是直线、圆之类,而轨迹方程是这个图形的方程. 点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式. 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形. 在解析几何中,我们常常把图形看作点的轨迹(集合). 例题解析 2、已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,你能求出点M的轨迹方程吗? 解析:设M(x,y),由题意有 整理得点M的轨迹方程为x2+y2=16 例题解析 3、如下图,已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程. 解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0) x O y B M A 相关点法 分析:点A在圆上,点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,建立点M与点A坐标之间的关系,就可得到M点的坐标满足的条件. ∵B(4,3),且M是线段AB的中点, 于是有x0=2x-4,y0=2y-3 ① ∵点A(x0,y0)在圆(x+1)2+y2=4上,∴有(x0+1)2+y02=4 ② 把①代入②中,有(2x-4+1)2+(2y-3)2=4 求动点的轨迹方程的常用方法 1、直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程. 2、相关点法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程. 步骤:(1)设被动点M(x,y),主动点Q(x0,y0) (2)求出点M与点Q坐标间的关系 (4)将②代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程. 随堂训练 2、已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程. 解:设点M(x,y),点P(x0,y0),则 ∵点P(x0,y0)在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上, ∴x02+y02-8x0-6y0+21=0 ② ∴把①代入②中,有(2x)2+(2y)2-8 (2x)-6 (2y)+21=0. 即点M的轨迹方程为x2+y2-4x-3y+ =0 课堂小结 ①若涉及圆心和半径,一般采用圆的标准方程. (1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为 (2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系 一般方程 标准方程(圆心,半径) (3) 根据题目条件,选择恰当圆的方程形式: ②若已知三点求圆的方程,常采用圆的一般方程用待定系数法求解. x2+y