2.3.3点到直线的距离公式＆2.3.4两条平行直线间的距离课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式 已知点P0(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,如何求点P0到直线l的距离? 点P0到直线l的距离,是指从点P0到直线l的垂线段P0Q的长度,其中Q是垂足. 思考:如何求出|P0Q|? x y O 探索新知 思路一:直接法 直线l的方程 直线l的斜率 直线l的方程 直线P0Q的方程 交点 点P0、Q之间的距离|P0Q|(P0到l的距离) 点P0的坐标 直线P0Q的斜率 点P0的坐标 点Q的坐标 两点间距离公式 x y O 思路简单运算繁琐 探索新知 思路二:间接法 x y O 等面积法求出 |P0Q| 求出 |P0R| 求出|P0S| 利用勾股定理求出|RS| S R 求出点R的坐标 求出点S的坐标 探索新知 思路三:向量法 探索新知 如图,点P到直线l的距离, 设M(x,y)是直线l的任意一点, 因为点M(x,y)在直线l上,所以Ax+By+C=0,所以Ax+By=-C,代入上式,得 P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离: 注意: 1、此公式是在A ≠0 、B≠0的前提下推导的; 当 A=0或B=0时,公式也成立. 2、用此公式时直线方程要先化成一般式。 点到直线的距离: 1、求点P(-1,2) 到下列直线的距离: (1)2x+y–10 =0 (2)3x=2 (2)直线的一般式为3x-2=0,所以 例题解析 1、(P77T1)求原点到下列直线的距离: (1)l:3x+2y-26=0 (2)l:y=x 巩固练习 (2)直线的一般式为x-y=0,所以 2、已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形ABC的面积. 例题解析 解:设AB边上的高为h,则 边AB所在的直线l的方程为 x y C (-1,0) O -1 1 2 2 3 3 1 B(3,1) A(1,3) 还有其他方法吗? 边AB上的高h就是点C到直线AB的距离. 即x+y-4=0 点C到l的距离 P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离: 点到直线的距离: 课堂小结 2.3.4 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离 y x o l2 l1 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. Q P 法一:求两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离. 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离是 说明: (2) 两直线方程中要求x,y的系数要相同. (1) 把直线方程要化成一般式; 法二:两条平行直线间的距公式 例题解析 1、求平行线2x-7y-8=0与6x-21y-1=0的距离. O y x l1 l2 解:l1与x轴的交点A(4,0) A到l2的距离等于l1与l2的距离 注意: 两条平行线间的距离可以化归为点到直线的距离去求. A(4,0) 巩固练习 1、平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是_; 2、两平行线3x+4y=0和6x+8y+10=0的距离是_. 注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式,并且两直线x、y项的系数要对应相等. 2 例题解析 2、求与直线l:5x-12y+6=0平行,且到l得距离为2的直线的方程. 解:设所求直线为5x-12y+C=0, 所求直线为5x-12y-20=0或5x-12y+32=0. 即|6-C|=26,解得C=-20或32. 巩固练习 3、过点P(1,2),且与点A(2,3)和B(4,-5)距离相等的直线l的方程。 解:①当直线平行于直线AB时,所求直线的斜率为: 故直线方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0 ②当直线过AB的中点(3,-1)时斜率为: 故直线方程为 ,即3x+2y-7=0; 所以求直线方程是为:4x+y-6=0或3x+2y-7=0. 巩固练习 4、求两直线l1:4x+y-6=0和l2:3x+2y-7=0夹角平分线方程 解:设点P(x,y)是两直线交角的角平分线上任一点,则 P 到两直线距离相等, 化简得:2x+16y+13=0 或 56x-7y+39=0. 两条平行直线间的距离 课堂小结 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离是 $$