2.2.3直线的一般式方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.3 直线的一般式方程 温故知新 名 称 几 何 条 件 方程 直线方程的四种形式 局限性 截距式 斜截式 两点式 点斜式 点P0(x0,y0)和斜率为k 斜率k,y轴上的截距b y-y0 =k(x-x0) y=kx+b 点P1(x1,y1)和点P2(x2,y2) 在x轴上截距a, 在y轴上截距b 不垂直于x轴的直线 不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线 不垂直于x、y轴的直线 不垂直于x轴的直线 温故知新 截距式 斜截式 两点式 点斜式 y-y0 =k(x-x0) y=kx+b 整理可得kx+(-1)y+y0-kx0=0 整理可得kx+(-1)y+b=0 整理可得(y2-y1)x+(x1-x2)y+x1(y1-y2)+y1(x2-x1)=0 整理可得bx+ay+(-ab)=0 Ax+By+C=0 观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,我们发现,它们都是关于x,y的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢?下面我们探讨这个问题. 思考: (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗? (2)任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗? 探究新知 分类讨论时,常按 ≠90 和 =90 分类,这样可以做到不重不漏 先看问题(1),任意一条直线l,在其上任取一点P(x0,y0), 当直线l的斜率为k时(此时直线的倾斜角 ≠90 ),其方程为 y-y0 =k(x-x0) 这是关于x,y的二元一次方程 当直线l的斜率不存在,即直线l的倾斜角 =90 ,直线的方程为x-x0=0 上述方程可以认为是关于x,y的二元一次方程,因为此时方程中y的系数为0. 方程y-y0 =k(x-x0)和x-x0=0都是二元一次方程,因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示. 思考: (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗? (2)任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗? 探究新知 反之,对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),如果能把它化为直线方程的某种形式,那么我们就可以断定它表示一条直线. 当B≠0时,方程Ax+By+C=0可变形为 它表示过点 ,斜率为 的直线. 当B=0时,A≠0,方程Ax+By+C=0可变形为 它表示过点 且垂直于x轴的直线. 由上可知,关于x,y的二元一次方程都表示一条直线. 我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式(general form) 探究新知 探究: 在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线: ①平行于x轴? ②平行于y轴? ③与x轴重合? ④与y轴重合? ⑤过原点; ①A=0,B≠0,C≠0; ②A≠0,B=0,C≠0; ③A=0,B≠0,C=0; ④A≠0,B=0,C=0; ⑤C=0,A、B不同时为0 例5、已知直线经过点A(6,–4),斜率为 ,求直线的点斜式、一般式和截距式方程。 解:经过点A(6,–4)并且斜率等于 的直线方程的点斜式是 化成一般式,得 4x+3y–12=0 截距式是: 例题解析 注意:对于直线方程的一般式,规定: ①x的系数为正; ②x,y的系数及常数项一般不出现分数; ③按含x项,含y项、常数项顺序排列. 例题解析 例6、把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式,求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距,并画图。 解:将原方程移项,得2y=x+6,两边除以2,得斜截式 令y=0,可得x=-6即直线l在x轴上的截距是-6, x y o 3 -6 因此,直线l的斜率k= ,它在y轴上的截距是3 , 又它在y轴上的截距是3 ,即可画出直线的图形。 结合例6,我们可以从几何角度看一个二元一次方程,即一个二元一次方程表示一条直线. 在代数中,我们研究了二元一次方程的解.因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,所以这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合组成一条直线. 平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁,这是笛卡儿的伟大贡献.在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线;反之,直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 1、(P66T1)根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式: (1)经过点A(8,-2),斜率是 ; (2)经过点B(4,2),平行于x轴; (3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4); (4)在x轴,y轴上的截距分别是 随堂练习 化成一般式为x+2y–4=0 (2)y–2=0 化成一般式