2.2.1直线的点斜式方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.1 直线的点斜式方程 我们知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线. 这样,在平面直角坐标系中,给定一个点P0(x0,y0)和斜率k(或倾斜角),就能唯一确定一条直线. 也就是说,这条直线上任意一点的坐标(x,y)与点P0的坐标(x0,y0)和斜率k之间的关系是完全确定的. 那么,这一关系如何表示呢?下面我们就来研究这个问题. 如图,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k. 设P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得 即 y-y0=k(x-x0) P0 P O x y 点P0的坐标(x0,y0)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗? 由上述推导过程可知: (1)直线l上每一个点的坐标(x,y)都满足关系式y-y0=k(x-x0); 反过来,我们还可以验证 (2)坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一个点都在直线l上. 事实上,若点P1(x1,y1)的坐标x1,y1满足关系式y-y0=k(x-x0),则y1-y0=k(x1-x0). 当x1=x0时,y1=y0,这时点P1与P0重合,显然有点P1在直线l上; 当x1≠x0时,有 ,这表明过点P1,P0的直线l1的斜率为k. 因为l,l1的斜率都为k且都过点P0,所以它们重合. 所以,点P1在直线l上; 由(1)(2)可得:坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的点一定在直线l上;直线l上任意一点的坐标一定满足关系式y-y0=k(x-x0). 我们把方程 y-y0=k(x-x0) 称为过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l的方程. 建立直线的方程,就是利用确定直线位置的几何要素,建立直线上任意一点的横坐标x,纵坐标y所满足的关系式. 方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式(point slope form). x y O l P0 注意: 1、直线的点斜式方程的前提条件: ①斜率必须存在; ②已知一点P(x0,y0)和斜率k. 2、方程y-y0=k(x-x0)与方程 不等价的,前者是整条直线,后者是去掉点P(x0,y0)的一条直线. 思考: (1)当直线l的倾斜角为0 时,直线l的方程是什么?为什么? (2)当直线l的倾斜角为90 时,直线l的方程如何表示?为什么? 当直线l的倾斜角为0 时(如图),tan0 =0,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是 y-y0=0,即y=y0 O x y P0 l 思考: (1)当直线l的倾斜角为0 时,直线l的方程是什么?为什么? (2)当直线l的倾斜角为90 时,直线l的方程如何表示?为什么? 当直线l的倾斜角为90 时(如图),由于tan90 无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示. 又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是 x-x0=0,即x=x0 O x y P0 l 小结:点斜式方程 ①倾斜角 ≠90 ②倾斜角 =0 ③倾斜角 =90 x y l y0 l x y O x0 x y l y-y0=k(x-x0) y-y0=0或y=y0 x-x0=0或x=x0 1、直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角 =45 ,求直线l的点斜式方程,并画出直线l. 代入点斜式方程得: y-3=x+2 解:直线l经过点P0(-2,3),斜率k=tan45 =1 y 1 2 3 4 x O -1 -2 l 例题解析 画图时,只需再找出直线l上的另一点P1(x1,y1),例如,取x1=-1,则y1=4,得点P1的坐标为(-1,4),过P0,P1两点的直线即为所求,如图所示. 1、(课本P61T1)写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(3,-1),斜率是 ; (2)经过点B( ,2),倾斜角为30 ; (3)经过点C(0,3),倾斜角为0 ; (4)经过D(-4,-2),倾斜角是 . 随堂练习 解析:(1)∵斜率等于 , (2)∵k=tan30 = , (3)∵k=tan0 =0, (4) , ∴直线方程为 ∴直线方程为 ∴直线方程为y=3. ∴直线方程为 2、(课本P61T2)写出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角: (1) y-2=x-1; (2) 随堂练习 下面我们看点斜式的一种特殊情况:如果斜率为k的直线l过点P0(0,b),这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程, 得 y-b=k(x-0), 即 y=kx+b 截距是距离吗? 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l与y轴上的截距(intercept). 这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程y=kx+b叫做直线的斜