专题27.2相似三角形的判定与性质（十一大考点）-2023-2024学年九年级数学下册考点剖析及精准练习（人教版）

专题27.2相似三角形的判定与性质 1.理解相似三角形的判定定理，会选择恰当的方法判定两个三角形相似； 2.理解相似三角形的性质定理，会利用性质定理解决问题； 3.能运用相似三角形的知识求出不能测量的物体的长度和高度问题，利用图相关的相似解决一些简单的实际问题 一、相似三角形的相关概念 在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是； ②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 二、相似三角形的判定 1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似 三、相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 考点01根据图形数据判断三角形相似 例1．如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 变式1-1．已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，已知A、B、C、D四张三角形卡纸的边长都是，，，若按图中标注的数据沿虚线剪一下，则剪得的小三角形卡纸与原三角形卡纸不相似的是（　　） A． B． C． D． 变式1-3．下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 考点02补充条件使两个三角形相似 例2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（　　） A． B． C． D． 变式2-2．如图，在中，D，E分别是，上的点，请你添加一个条件 ，使得．    变式2-3．如图，在正方形中，E是边的中点，要依据“两边成比例且夹角相等”判定，还需添加的一个条件是 ． 考点03证明相似三角形 例3．如图，点是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点．写出图中任意一对相似三角形，并说明理由． 变式3-1．已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 变式3-2．如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    变式3-3．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，于点，连接．求证：． 考点04利用相似三角形的性质求线段 例4．如图，菱形，点M，N在AC上，，．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式4-1．如图，在中，，，，．求的长．    变式4-2．如图，已知是的直径，C是上一点，，垂足为D，连接，过点A作的切线与的延长线相交于点E． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 变式4-3．如图，已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处．已知折痕与边相交于点O，连接，，． (1)求证：． (2)若与的面积比为，求边的长． 考点05利用相似三角形的性质求面积、周长 例5．如图，四边形中，对角线和相交于点，，（字母“”表示面积），则的值是（    ）． A． B． C． D． 变式5-1．如图，，，则 ． 变式5-2．已知两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为 ． 变式5-3．如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在上，交于点．设，，，求矩形的面积． 考点06利用相似求坐标 例6．如图，点的坐标分别是，