1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题3课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 回顾旧知 1、异面直线所成的角 2、直线与平面角 3、两个平面的夹角 例9、如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量． 巩固新知 例10、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小 巩固新知 分析： 本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． A B C D E F P z x y 例10、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小 巩固新知 A B C D E F G P z x y 解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1. (1)证明：连接AC，交BD于点G，连接EG. 则A(1,0,0)，P(0,0,1)， 因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心， 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，∴PA//平面EDB 例10、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小 巩固新知 A B C D E F G P z x y 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD. (3)已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角 例10、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小 巩固新知 所以∠EFD=60°，即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°. A B C D E F G P z x y 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结合例题就下面的框图谈谈体会． 解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法．你能说出它们各自的特点吗？ 综合法以逻辑推理作为工具解决问题； 向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如本节的例7、例9； 坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用，如本节的例6，例8，例10． 对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法． 1、Rt△ABC中，∠ BCA=90°，现将△ABC沿着平面ABC的法向量平移到△A1B1C1位置，已知BC=CA=CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值. 随堂练习 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，设CC1=1，则 A(1,0,0)，B(0,1,0) A1 B1 C1 C A B D1 F1 x y z 设BD1与AF1所成的角为θ， 2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上的一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN. (1)求证：A1D⊥AM. (2)求AD与平面ANM所成的角的正弦值. 随堂练习 解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，如图所示， (1)则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4) A B C D A1 B1 C1 D1 M N x y z (2)由(1)知A1D⊥AM，又A1D⊥AN，AM∩AN=A，所以A1D⊥平面ANM