1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题2课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 回顾旧知 数量积: 夹角公式: 3、异面直线所成的角 回顾旧知 O O 为了简便,O点常取在 两异面直线中的一条上 已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作直线a'//a, b'//b,我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。 4、直线和平面所成的角 回顾旧知 如图,过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是0 的角。 规定: A l P O 斜线l 斜线l的射影 垂线 ∈[0 ,90 ] 回顾旧知 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,棱为l,两个面分别为 、 的二面角. 记为 -l- . 在二面角 -l- 的棱l上任取一点O,如图,在半平面 和 内在点 O 处分别作垂直于棱l 的射线OA、OB,射线OA、OB组成∠AOB.则 ∠AOB 叫做二面角 -l- 的平面角 ∠AOB的大小就是二面角的大小 5、二面角的定义 6、二面角的平面角 l O B A 与距离类似,角度是立体几何中另一个重要的度量. 下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角,先看下列问题 巩固新知 例1、如图,在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中, M, N分别为BC, AD的中点,求直线AM和CN夹角的余弦值. A B C D M N 分析:求直线AM和CN夹角的余弦值 巩固新知 例1、如图,在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中, M, N分别为BC, AD的中点,求直线AM和CN夹角的余弦值. A B C D M N 解:化为向量问题 进行向量运算 巩固新知 例1、如图,在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中, M, N分别为BC, AD的中点,求直线AM和CN夹角的余弦值. A B C D M N 回到图形问题 思考:以上我们用向量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题,你能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗? 探究新知 1、用向量研究异面直线所成的角 一般地,两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角求得,也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为 ,其方向向量分别为 ,则 探究新知 2、用向量研究直线与平面所成的角 直线与平面所成的角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角, 如图,直线AB与平面 相交于点B,设直线AB与平面 所成的角为 ,直线AB的方向向量 ,平面 的法向量为 ,则 探究新知 直线与平面所成角的范围: 思考: A B O A B O 平面 与平面 相交,形成四个角,我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为平面 与平面 的夹角. 探究新知 3、用向量研究二面角及两个平面的夹角 平面 , 的法向量分别为 ,则平面 与平面 的夹角即为 夹角或其补角,设平面 与平面 的夹角为 ,则 l 探究新知 3、用向量研究二面角及两个平面的夹角 二面角的范围: ∈[0 ,180 ] l D C B A l 一进一出,二面角等于法向量的夹角; 同进同出,二面角等于法向量夹角的补角。 巩固新知 例2、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90 ,P为BC中点,点Q,R分别在棱AA1,BB1上,A1Q=2AQ,BR=2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值. A B C C1 A1 B1 P Q R 分析:因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角,所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可. x y z 解:化为向量问题 以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设平面A1B1C1的法向量为 ,平面PQR的法向量为 ,则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是 的夹角或其补角. 进行向量运算 因为C1C⊥平面A1B1C1,所以平面A1B1C1的一个法向量为 巩固新知 根据所建立的空间直角坐标系,可知P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1) 回到图形问题 设平面PQR与平面A1B1C1夹角为 ,则 x y z 例2、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90 ,P为BC中点,点Q,R分别在棱AA1,BB1上,A1Q=2AQ,BR=2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.