1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用. 立体几何问题 (研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形) 平面向量 空间向量 推广到 研究 向量 渐渐成为重要工具 引言 1、空间中点、 直线和平面的向量表示 我们知道,点、 直线和平面是空间的基本图形,点、 线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素. 因此,为了用空间向量解决立体几何问题,首先要用向量表示空间中的点、 直线和平面. 思考:如何用向量表示空间中的一个点? O P 如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示. 我们把向量 称为点P的位置向量. A B P l 思考:我们知道, 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l. 如何用向量表示直线l? 用向量表示直线l, 就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点. 如图, 是直线l的方向向量,在直线l上取 ,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得 1、空间中点、 直线和平面的向量表示 O A B P l ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 进一步地,如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 1、空间中点、 直线和平面的向量表示 例题解析 例1、已知两点A(1,-2,3),B(2,1,-3),求A,B连线与三个坐标平面的交点. 解:设A,B连线与平面yOz的交点C1(0,y1,z1), (0,y1,z1)=(1-t)(1,-2,3)+t(2,1,-3) ∴(0,y1,z1)=(1+t,-2+3t,3-6t) 由1+t=0,得t=-1, 随堂练习 1、已知三点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在OP上运动,求当 取得最小值时,点Q的坐标. 解:因为点Q在OP上运动,所以设 1、空间中点、 直线和平面的向量表示 思考:一个定点和两个定方向能否确定一个平面?进一步地,一个定点和一个定方向能否确定一个平面?如果能确定,如何用向量表示这个平面? O P 我们知道,平面 可以由 内两条相交直线确定. 如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为 ,P为平面 内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 这样,点O与向量 不仅可以确定平面 ,还可以具体表示出 内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用. O A B C P 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 进一步地,如图,取定空间中的任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使 1、空间中点、 直线和平面的向量表示 P A l 我们知道,给定空间一点A和一条直线l,则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的.由此得到启发,我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面. 如图,直线l⊥ ,取直线l的方向向量 ,我们称向量 为平面 的法向量(normal vector) 1、空间中点、 直线和平面的向量表示 给定一个点A和一个向量 ,那么过点A,且以向量 为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 如果另有一条直线m⊥ ,在直线m上任取向量 有什么关系? 几点注意: 1、法向量一定是非零向量; 2、一个平面的所有法向量都互相平行; 3、向量 是平面的法向量,向量 是与平面平行或在平面内,则有 例题解析 例2、在空间直角坐标系中,已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),试求平面ABC的一个法向量. 解:设平面ABC的一个法向量为 如何求平面的法向量 归纳总结 例题解析 例3、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量;(2)求平面MCA1的法向量. 分析:(1)平面BCC1B1与y轴垂直,其法向量可以直接写出; A B C D D1 A1 B1 C1 M x y z 解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1,所以 是平面BCC1B1的一个法向量. 例题解析 例3、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量;(2)求平面MCA1的法向量. 分析:(2)平面MCA1可以看成由 中的两个