1.3.2空间向量运算的坐标表示课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 一、回顾旧知 平面向量运算的坐标表示: (a1+b1,a2+b2) (a1-b1,a2-b2) ( a1, a2) a1b1+a2b2 a1= b1,a2= b2( ∈R) a1b1+a2b2=0 二、探究新知 探究1、有了空间向量的坐标表示,你能类比平面向量的坐标运算,得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗? ,与平面向量运算的坐标表示一样,我们有: 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.其他运算的坐标表示可以类似证明,请同学们自己完成. 由上述结论可知,空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.例如,我们有: 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 二、探究新知 类似平面向量运算的坐标表示,我们还可以得到: 二、探究新知 探究2、你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗? 这就是空间两点间的距离公式. 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来,不仅可以解决夹角和距离的计算问题,而且可以使一些问题的解决变得简单. O x y z P2 P1 如图,建立空间直角坐标系Oxyz,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则 三、巩固新知 课本P22 练习1 随堂练习 2、已知 ABCD,顶点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则顶点D的坐标为_ 3、在直角三角形ABC中,∠BAC=90 ,A(2,1,1),B(1,1,2),C(x,0,1),则x=_ (1,-1,2) 2 1、课本P22 练习2 三、巩固新知 例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥DA1 O A B C x y z D A1 B1 C1 D1 F E 三、巩固新知 例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥DA1 O A B C x y z D A1 B1 C1 D1 F E (1) 建立直角坐标系 (2)把点、向量坐标化 (3)对向量计算或证明 (4)结论 你能从本题的解答中体会到根据问题的特点,建立适当的空间直角坐标系,用向量表示相关元素,并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗? 三、巩固新知 例3、如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上, (1)求AM的长. (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 分析:(1)利用条件建立适当的空间直角坐标系,写出点A,M的坐标,利用空间两点间的距离公式求AM的长 O A B C x y z D A1 B1 C1 D1 F1 M E1 三、巩固新知 例3、如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上, (1)求AM的长. (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. O A B C x y z D A1 B1 C1 D1 F1 M E1 随堂练习 4、如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上, 求证:AE1//DF1. O A B C y z D A1 B1 C1 D1 F1 E1 x 又A,E1,D,F1不共线,所以AE1//DF1 随堂练习 5、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱C1D1,AA1的中点.设点E1,G1分别是点E,G在平面DCC1D1内的正投影 (1)证明:直线FG1⊥平面 FEE1 ; (2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值. O A B C y z D A1 B1 C1 D1 F E x G1 E1 G 则G1(0,0,1),F(0,1,2),E1(0,2,1),E(1,2,1) 随堂练习 5、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱C1D1,AA1的中点.设点E1,G1分别是点E,G在平面DCC1D1内的正投影 (1)证明:直线FG1⊥平面 FEE1 ; (2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值. O A B C y z D A1 B1 C1 D1 F E x G1 E1 G 四、课堂小结 1、基本知识: (1)向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示; (2)两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐标表示. 2、思想方法: 用向量坐标法计算或证明立体几何问题 (1) 建立直角坐标系, (2)把点、向量坐标化, (3)对向量计算或证明. 3、应用 运用空间向量着重解决三类题型 (1)例1-向量间的运算 (2)例2-证明线线垂直关系