1.2空间向量基本定理课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 一、回顾旧知 1、平面向量基本定理: 如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 1、 2,使 其中 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2、平面向量的正交分解及坐标表示 A y x O (x,y) 任一向量 的坐标表示: 二、探究新知 探究1、我们知道,平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示(平面向量基本定理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢? x y z O Q P 如图,设 是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点O. 对于任意一个空间向量 ,设 所确定的平面上的投影向量,则 又向量 共线,因此存在唯一的实数z,使得 , 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 二、探究新知 探究1、我们知道,平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示(平面向量基本定理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢? x y z O Q P 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 而在 所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y)使得 从而 二、探究新知 探究1、我们知道,平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示(平面向量基本定理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢? x y z O Q P 因此,如果 是空间三个两两垂直的向量,那么对任意一个空间向量 ,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 二、探究新知 探究2、在空间中,如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ,你能得出类似的结论吗? 1、空间向量基本定理: 如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在一个唯一的有序实数组(x,y,z),使 都叫做基向量 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 这不共面的三个向量 叫做空间的一个基底。 (1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 特别提示:对于基底 ,除了应知道 不共面,还应明确: (3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。 (2) 因为 与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是 。 推论:设O、A、B、C是不共线的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 当且仅当x+y+z=1时,P、A、B、C四点共面。 二、探究新知 特别地,如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用 表示. 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量 ,均可以分解为三个向量 ,使 . 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 由空间向量基本定理可知,如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底,那么所有空间向量都可以用三个基本向量表示出来. 随堂练习 1、已知向量 是空间的一个基底.求证:向量 能构成空间的一个基底. 三、例题解析 A B C M N P O 例1、如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且 三、例题解析 A B C M N P O 例1、如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且 随堂练习 2、空间四边形OABC中, ,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则 O A B C M N B 随堂练习 3、如图,M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点. 用向量 B O A C P N M Q 随堂练习 4、已知平行六面体OABC-O1A1B1C1,点G是侧面BB1C1C的中心,且 B C O A1 B1 C1 O1 A G 三、例题解析 例2、如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60 ,∠BAA1=60 ,∠DAA1=60 ,M,N分别为D1C1,C1B1的中点. 求证:MN⊥AC1 A B C D M N B1 A1 C1 D1 三、例题解析 例2、如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60 ,∠BAA1=60 ,∠DAA1=60 ,M,N分别为D1C1,C1B1的中点. 求证:MN⊥AC1 A B C D M N B1 A1 C1 D1 所以MN⊥AC1 随堂练习 5、课本14页练习1 三、例题解析 例3、如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,E,F,G分别为C′D′,A′D′,D′D的中点. (1)求证:EF//AC;(2)求CE与AG所成角的余弦值. A′ B′ C′ D′