4.3.1等比数列的概念 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念 1、等差数列的定义是什么? 等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d 3、它的通项公式是什么? 2、递推公式是什么? 复习回顾 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示. 等差数列的符号语言: an-an-1=d(d是常数,n≥2且n∈N*) an+1-an=d(d是常数,n∈N*) 探究新知一 请看下面几个问题中的数列. 1、两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 9,92,93,…,910; ① 100,1002,1003,…,10010; ② 5,52,53,…,510; ③ 3、在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是: 2,4,8,16,32,64,… ⑤ 4、某人存入银行a元,存期为5年,年利率为r,那么按照复利,他5年内每年末得到的本利和分别是:a(1+r),a(1+r) ,a(1+r) ,a(1+r)4,a(1+r)5 ⑥ 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息. 2、《庄子 天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”,如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”,那么从第1天开始,各天得到的“棰”的长度依次是: 古巴比伦人用60进制记数,这里转化为十进制. 探究新知一 问题1、类比等差数列,你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律?你发现了什么规律? 共同规律: 从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数. 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律. 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0). 等比数列的概念: 符号表示: 问题2、类比等差数列的概念,从上述几个数列的规律中,你能抽象出等比数列的概念吗? 1、等比数列 探究新知一 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0). 注意:(1)公比q是由后项除以前项所得,不能用前项除以后项来求. (2)等比数列的每一项和公比都不为0; (3) {an}为等比数列 (4)非零常数列既是等差数列,又是等比数列,公差为0,公比为1. 符号表示: 1、判断下列数列是否为等比数列. 如果是,写出它的公比. (1)3,9,15,21,27,33; (2)1,1.1,1.21,1.331,1.4641; (3) (4)4,-8,16,-32,64,-128 (5)0,1,2,4,8,… (6)2,0,2,0,2,… (7)1,a,a2,a3,a4,… 随堂练习 a≠0时,是等比数列,公比为a a=0时,不是等比数列 是,公比为1.1 是,公比为-2 ①若q<0,则{an}是摆动数列(正负项交替); ②所有的奇数项同号,所有的偶数项同号,但奇偶项异号 ③若q=1,则{an}是常数列; 注意:(1)a,b是同号的; (2) ; (3)a,G,b成等比数列 G2=ab (4)一个等比数列从第2项起,每一项an是它的前一项an-1与后一项an+1的等比中项. 2、等比中项 探究新知二 问题1、在等差数列中,我们学习了等差中项的概念.通过类比,在等比数列中有什么相应的概念?如何定义? 由三个数a,G,b组成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项. 思考:这时a,b的符号有什么特点?你能用a,b表示G 吗? 等比中项有2个,它们互为相反数 1、若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项. 例题解析 解:因为a5是a4与a6的等比中项,所以 a52=a4a6=48 12=576 因此,{an}的第5项是24或-24. 2、填空 (1)2与8的等比中项为_; (2)-9和-4的等比中项为_; (3) 的等比中项为_; (4) 的等比中项为_. 随堂练习 6 不存在 4 3、如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 随堂练习 解:因为b2=(-1) (-9)=9,且b与首项-1同号, 所以b=-3,且a,c必同号. 所以ac=b2=9. B 探究新知二 问题2、类比等差数列通项公式的推导,你能根据等比数列的定义及递推公式推导它的通项公式吗? 类比 不完全归纳法得 an=a1+(n-1)d …… 不完全归纳法得an=a1qn-1 探究新知二 问题