第10讲　圆锥曲线中的范围与最值问题讲义——2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第10讲　圆锥曲线中的范围与最值问题 考点28　几何法求范围(最值) 【常用方法】1．当题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决． 2．利用圆锥曲线的定义、几何意义等转化为平面图形中的范围问题，然后利用平面几何中的定理、性质等进行求解． 【典例分析28】 1、如图，直线y＝m与抛物线y2＝4x交于点A，与圆(x－1)2＋y2＝4 的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是(　　) A．(2，4) B．(4，6) C．[2，4] D．[4，6] 2、已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最短距离为(　　) A．5 B．4 C．2 D．1 3、已知点M(－4，－2)，抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR＋|MR|的最小值为________． 考点29　借助不等式求范围(最值) 【常用方法】指构建所求式子的不等关系，通过不等式变形或不等式的求解确定范围的方法．解决问题的关键如下： (1)构建所求式子的不等关系，可根据已知条件中的不等式(组)建立不等关系或根据题意建立不等关系．一般通过以下几何条件建立不等关系：三角形两边之和大于第三边、直角三角形斜边大于直角边、点的横(纵)坐标大小比较、直线的斜率、圆锥曲线中线段长的范围等． (2)求范围，利用不等式的性质或解不等式求解所要求的式子的范围． 【典例分析29】 1、已知点P的坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交椭圆E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝． (1)求椭圆E的方程； (2)设过点P的动直线l与椭圆E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围． 2、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点E，A1，A2为椭圆的左、右顶点，且直线A1E，A2E的斜率的乘积为－. (1)求椭圆C的方程； (2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点， 线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线 x＝－2于点Q，求的最小值． 　　 考点30　构造函数求范围(最值) 【常用方法】求解范围问题的常见求法 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系． (3)利用几何条件构造不等关系． (4)利用基本不等式求出参数的取值范围． (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【典例分析30】 1、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且经过A(0，2)． (1)求双曲线C的方程． (2)若过点B(2，0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ中点为M，求三角形BOM(O为坐标原点)面积的取值范围． 　　 2、椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长与短轴长之积为16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)在直线x＋3y＋t＝0上存在一点P，过P作两条相互垂直的直线均与椭圆C相切，求t的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$