第08讲　直线与圆锥曲线的位置关系讲义——2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第08讲　直线与圆锥曲线的位置关系 【必备知识】 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0． 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1的交点 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 无公共点 b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行) 一个交点 a≠0 Δ>0 两个不等的解 两个交点 Δ＝0 两个相等的解 一个交点 Δ<0 无实数解 无交点 (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． 2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 3、常用结论： 圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表： 圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆：＋＝1(a>b>0) k＝－ 双曲线：－＝1(a>0，b>0) k＝ 抛物线：y2＝2px(p>0) k＝ 　　 考点22　直线与圆锥曲线的位置关系 【常用方法】研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．对于过定点的直线常考虑定点与圆锥曲线的位置关系，进而判断直线与圆锥曲线的位置关系．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解． 注：(1)研究直线与圆的位置关系，只需抓住圆心到直线的距离与半径的关系；(2)当直线过定点时，注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别 【典例分析22】 1．直线y＝2x－1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．若l与C有两个不同的交点，则实数k的取值范围为________． 考点23　弦长问题 【常用方法】处理弦长问题的两个注意点 (1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．设斜率为k的直线l交圆锥曲线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： 解法要点“设而不求，整体代入”． (2)求圆、过抛物线焦点的弦长注意圆、抛物线的特性，一般不用联立直线与曲线方程 【典例分析23】 1、已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为______________． 2、已知M(－，0)，N(，0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数－.设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)直线l与曲线C交于A，B两点，线段AB的中垂线与y轴交于点，点O为坐标原点，·＝0，求|AB|. 考点24　中点弦问题 【常用方法】1．用“点差法”求解中点弦问题的步骤 (1)设点：设出弦的两端点坐标． (2)代入：代入圆锥曲线方程． (3)作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开． (4)整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 2．解有关中点弦问题的注意点 对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．　　 【典例分析24】 1、过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　) A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0 C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0 2、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F(5，0)为该双曲线的右焦点，过F的直线交该双曲线于A，B两点，且AB的中点为M(－，－)，则该双曲线的方程为________________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$