16.1二次根式-2023-2024学年八年级数学下册题型归纳讲义（人教版）

16.1二次根式 【人教版】 一、知识精解 考点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。 （1） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （2） 式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。 （3） 在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （4） 形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。 考点二、二次根式的性质 1、二次根式的性质 （1）二次根式的性质： 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． （2）与的关系：． 二、典例精讲 题型一、二次根式有意义的条件 【典例1】使式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【典例2】若有意义，则n的取值范围是 ，若是整数，则整数n的值是 ． 【典例3】已知x、y为实数，且．则的平方根 ． 【典例4】已知为实数，且，则 ． 题型二、求二次根式的参数 【典例1】设点 ，且，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【典例2】若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例3】若是整数，则正整数的最小值是 ． 【典例4】先化简，再求值：，其中、满足． 题型三、求二次根式的值 【典例1】下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【典例2】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【典例3】已知，则 ． 【典例4】求代数式÷的值，其中x＝． 题型四、利用二次根式化简 【典例1】对任意两个正实数a，b．定义新运算为：．则下列等式：①；②；③；④，其中成立的是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【典例2】若，则x的值不能是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例3】先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式，在两人的解法中（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定 【典例4】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 题型五、符合二次根式的化简 【典例1】先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【典例2】定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式． (1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ； (2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式． 【典例3】有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【典例4】观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第四个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1二次根式 【人教版】 一、知识精解 考点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。 （1） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （2） 式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。 （3） 在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （4） 形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。 考点二、二次根式的性质 1、二次根式的性质 （1）二次根式的性质： 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． （2）与的关系：． 二、典例精讲 题型一、二次根式有意义的条件 【典例1】使式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．直接利用二