6.1 空间向量及其运算（十一大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

6．1 空间向量及其运算 课程标准 学习目标 （1）能类比平面向量的学习，经历平面向量推广到空间向量的过程，并初步建构空间向量及其运算的研究框架． （2）能类比平面向量，用自己的语言解释空间向量的概念，说明空间向量与平面向量的共性与差异． （3）能将平面向量的线性运算推广到空间，给出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及其几何意义． （4）能将平面向量线性运算的运算律推广到空间，并能借助图形解释其意义；会用空间向量的线性运算表示空间中的基本元素，体会空间向量的线性运算在解决立体几何问题中的作用． （5）能将平面向量数量积的运算推广到空间，给出空间向量数量积的概念，会计算两个向量的数量积；能将平面向量数量积的运算律推广到空间向量数量积的运算律，能用自己的语言解释空间向量运算律和实数运算律的联系与区别． （6）能借助图形解释空间向量投影的概念以及投影向量的意义． （7）能利用向量数量积解决几何度量问题，证明与垂直有关的简单问题；体会空间向量的数量积运算及其运算律在解决立体几何问题中的作用． （1）了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示. （2）掌握空间向量的线性运算 （3）掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题． （4）掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法. （5）理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行. （6）理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面． 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或． 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 相等 【即学即练1】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 知识点02 空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 减法 加法运算律 ①交换律： ②结合律： （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与向量方向相同； 当时，与向量方向相反； 当时，；的长度是的长度的倍． ②运算律 结合律：． 分配律：，． 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 【即学即练2】（2024·广东中山·高二中山市华侨中学校考阶段练习）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点03 共线问题 共线向量 （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使． （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线． 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法