7.1.2 全概率公式（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.2 全概率公式 教学设计 1、 课时教学内容 1. 结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 2.了解贝叶斯公式(不作考试要求)． 2、 课时教学目标 1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; 2.理解全概率公式并会利用全概率公式计算概率; 3.了解贝叶斯公式以及其简单应用. 3、 教学重点、难点 1. 教学重点：利用全概率公式计算概率，全概率公式及其应用. 2. 教学难点：正确理解全概率公式，在具体问题情境中识别出全概率模型，运用全概率公 式求概率. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率．下面，再看一个求复杂事件概率的问题． 思考：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为．那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是．但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导． 用表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，．如图7.1-2所示， 事件可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即．利用概率的加法公式和乘法公式，得 ． 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率． 【设计意图】让学生亲身经历了从特殊到一般，结合集合，获得全概率概念与公式的过程，同时发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 环节二 观察分析，感知概念 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 ． 我们称上面的公式为全概率公式（total probability formula）．全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 【设计意图】通过概念辨析，让学生深化对全概率公式的理解，并归纳总结出来全概率是用来解决“由因求果”类问题的。 例 4 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率． 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解． 解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥．根据题意得 ，， 由全概率公式，得 ． 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7． 【设计意图】总结全概率公式求概率的步骤： 1.设事件：把事件B（结果事件）看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An 看作导致结果的若干个原因； 2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai )),且每一原因对结果的影响程度 (即P(B|Ai ))； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 环节三 抽象概括，形成概念 例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率． 分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能．设“任取一零件为次品”，“零件为第 i台车床加工”，如图7.1-3所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率． 解：设“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第台车床加工”，则，且两两互斥．根据题意得 ，，， ，． （1）由全概率公式，得 ． （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率． ． 类似地，可得 ，． 【设计意图】会利用全概率公式求概率，培养学生分析问题、利用已学知识解决问题的能力。 环节四 辨析理解 深化概念 思考：例5中，的实际意义是什么? 是试验之前就已知的概率，它是第台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率．当已知抽到的零件是次品(发生)，是这件次品来自第台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率．如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么，，就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额． 将例5中的问题（2）一般化，可以得到贝