7.1.1 条件概率 （教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.1 条件概率 教学设计 1、 课时教学内容 本节的主要内容是条件概率与概率的乘法公式，其中 条件概率的内容涉及定义、求法、性质及应用.概率是数学 中一个较独立的学科分支，与人们的日常生活密切相关. 条件概率是概率论中重要的概念之一，在实际生活中普遍 存在，且应用广泛.条件概率和概率的乘法公式的学习加 深了学生对概率的认识，为全概率公式的学习奠定基础. 2、 课时教学目标 1. 结合古典概型，了解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率. 2. 结合古典概型，了解条件概率与事件的独立性的关系. 3. 结合古典概型，会利用乘法公式计算概率. 3、 教学重点、难点 1. 教学重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及应用. 2. 教学难点：对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率的比较. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题．当事件A与B相互独立时，有 ． 如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手． 问题1 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示． 单位：人 表7.1-1 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表． （1）选到男生的概率是多少？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少? 随机选择一人做代表，则样本空间包含45个等可能的样本点．用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”，根据表7.1-1中的数据可以得出，，，． （1）根据古典概型知识可知，选到男生的概率 ． （2）“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为．此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数．根据古典概型知识可知， ． 环节二 观察分析，感知概念 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间，且所有样本点是等可能的．用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则 ，． （1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率 ． （2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为．此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB．根据古典概型知识可知， ． 在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是 ． 这个结论对于一般的古典概型仍然成立．事实上，如图7.1-1所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间．此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即 ． 因为 ， 所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过来计算． 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率(conditional probability)． 环节三 抽象概括，形成概念 探究：在问题1和问题2中，都有．一般地，与不一定相等．如果与相等，那么事件A与B应满足什么条件? 直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于成立． 事实上，若事件A与B相互独立，即，且，则 ； 反之，若，且，则 ， 即事件A与B相互独立． 环节四 辨析理解 深化概念 因此，当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有． 思考：对于任意两个事件A与B，如果已知与，如何计算呢? 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则 ． 我们称上式为概率的乘法公式(multiplication formula)． 例 1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率． 分析：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率．可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率． 解法1：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”． （1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB．从