平面解析几何第06讲双曲线讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第06讲　双曲线 【必备知识】 1、定义：且为常数 注意：（1）是双曲线 一支 （2）当时，轨迹分别为以为端点的两条射线；当时，轨迹不存在；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹是以为端点线段的中垂线； 2、方程：焦点在轴上，标准方程 焦点在轴上，标准方程 3、性质：（1）与双曲线共渐近线的双曲线方程为 （2）过两个已知点的双曲线方程 （3）切线方程： （4）弦长公式： （5）通径 最短的焦点弦= （6）等轴双曲线，离心率，渐近线方程 （7）共轭双曲线和 （8）双曲线上的不同的三点，其中两点关于原点对称，则 （9）双曲线的焦点到其渐近线的距离为. （10）弦中点利用点差法：如果已知某点为弦的中点，则这条弦所在直线的斜率可以用弦的中点坐标表示：在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率为 考点16　双曲线的定义及应用 【常用方法】双曲线定义应用的技巧 (1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 【典例分析16】 1、已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝(　　) A．2或14 B．2 C．14 D．2或10 2、设F1，F2 是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A． B．3 C． D．2 考点17　双曲线的标准方程 【常用方法】求双曲线标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，根据条件确定A、B即可．特别的①与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2<k<a2)；③渐近线为y＝x的双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)． 特别地：离心率为的双曲线的方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)． 【典例分析17】 1、已知双曲线的渐近线为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为(　　) A．－＝1　　　　　 B．－＝1或－＝1 C．－＝1 D．－＝1或－＝1 2、已知离心率为2的双曲线－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 　　 考点18　双曲线的几何性质 角度一　双曲线的渐近线问题 【常用方法】求双曲线渐近线方程的方法 求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.或确定焦点位置并求出或的值，从而写出渐近线方程． 注：如图F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，l为渐近线； FH⊥l于H，则|FH|＝b，|OH|＝a. 特别提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称 【典例分析18】 1、已知双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为(　　) A． B． C．或 D．或 2、已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________ 角度02　双曲线的离心率问题 【常用方法】求双曲线离心率或其范围的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e． (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．　　 3、已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 4、已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A.　　　　B. C． D. 角度三　与双曲线有关的范围问题 【常用方法】解决与双曲线几何性质有关问题的通法与流程 求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是： 　　 5、已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若M