5.2.3 简单复合函数的导数 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.3 简单复合函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝ f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝ f(x)＝sinx f′(x)＝ f(x)＝cosx f′(x)＝ f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝lnx f′(x)＝ 0 nxn－1 cosx －sinx axlna ex 1.基本初等函数的导数公式： 复习引入 2.导数的四则运算法则 思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数. 若设 ，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和 复合而成的一个复合函数. 把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1). 追问 函数y=ln(2x－1)有什么结构特点？ y通过中间变量u表示成x的函数. 学习新知 LOGO 4 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). 复合函数 指出以下函数是由哪些函数复合而成的？ （1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3 （3）y＝e－0.05x＋1 试一试 y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3 探究:如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数. y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x-sin2x]=2cos2x 追问：函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成的，如果以 y′x 表示 y 对 x 的导数, 以 y′u 表示 y 对 u 的导数, 以 u′x 表示 u 对 x 的导数，那么y′x与y′u及u′x有什么关系呢？ y′u =(sinu)′= cosu, u′x =(2x)′=2. 又 y′x =2cos2x, 可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x. 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 复合函数的求导法则 y′x＝y'u· u′x 结构特点 [f (g(x))]′=f ′(g(x)) · g′(x) 结果显示 思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成 以y′u 表示对 u 求导, 以u′x表示对x求导 因为y'u＝(lnu)'＝ , u'x＝2, 所以y'x ＝ y'u · u'x ＝ ·2 = 再回头看 复合函数求导步骤:分解—求导—相乘—回代. 例1 求以下函数的导数 （1）y＝(3x+5)3;（2）y＝e－0.05x＋1 解：(1)y＝(3x+5)3可以看作函数y＝u3及u＝3x+5的复合函数 根据复合函数求导法则，有 y'x＝y'u·u'x=(u3)'· (3x+5)'=3u2·3=9(3x+5)2. [分析]　抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则． 1.求复合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本函数结构; (2)关键是正确分析函数的复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数 2．求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简洁． 感悟提升 巩固练习 例2.已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． [解]　解法一：f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则