5.2.2导数的四则运算法则课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

复习引入 1.基本初等函数的导数公式: 不论经过多少次求导的风雨,我依然不改本色,真情永驻。 2.如何求函数y=f(x)的导数? 对于基本初等函数,我们前一节课已经得到了求导公式,所以可以直接通过公式得到其导数,除此之外只能用导数的定义来求函数的导数,即求增量、算比值、求极限. 3.问题:在上节课的例3中,当p0=5时,这时p (t)=5 1.05t,求p关于t 的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.一般地,如何求两个函数和、差、积、商的导数呢? 5.2.2 导数的四则运算法则 学习新知 探究:设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x)+g(x)]′与[f(x)-g(x)]′, 它们与f'(x)和g'(x)有什么关系? 再取几组函数试试, 上述关系仍然成立吗? 由此你能想到什么? 一般地,对于两个函数f(x)和 g(x)的和(或差)的导数,下面的法则 成立吗? 导数的运算法则1: 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: 例1 .求下列函数的导数: 解: 由已知, 显然 那么,正确结论是什么呢? 事实上,对于两个函数f(x)和 g(x)的积(或商)的导数,我们有如下法则: 导数的运算法则2: (推导过程留作课后思考) 请同学们尝试用文字叙述上面两个运算法则. 1.两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数. 2.两个函数的商的导数, 等于第一个函数(分子)的导数乘第二个函数(分母), 减去第一个函数(分子)乘第二个函数(分母)的导数 , 再除以第二个函数(分母)的平方. 探究: 思路1: 思路2: 也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数与函数的导数的积,即 由函数的乘积的导数法则可以得 导数的四则运算法则 解: 求下列函数的导数: (1)y=x2+log3x;(2)y=x3 ex;(3)y=(x+1)(x+2)(x+3). 巩固练习 (1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时,要分清函数的结构,再利用相应的法则进行求导. (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式,有时先将函数表达式展开或化简,然后再求导. 感悟提升 例3.日常生活中的饮用水通常是经过净化的, 随着水的纯净度的提高, 所需净化费用不断增加. 已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90%; (2) 98%. 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. ∴纯净度为98%时,所需净化费用的瞬时变化率为1321元/吨. ∴纯净度为90%时,所需净化费用的瞬时变化率为52.84元/吨. (1)函数在切点处的导数等于切线的斜率; (2)切点在切线上; (3)切点在曲线上; (4)题目所给的其他条件. 最后通过解方程(组)确定参数的值. 利用导数的几何意义求参时,常根据以下关系列方程: 感悟提升 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)f′(x)=2x,则f(x)=x2.( ) (2)函数f(x)=xex的导数是f′(x)=ex(x+1).( ) (3)函数f(x)=sin(-x)的导数为f′(x)=cosx.( ) (4)若f(x)=a2+2ax+x2,则f′(a)=2a+2x.( ) (5)函数f(x)=xex的导数是f′(x)=ex(x+1).( ) √ √ 课堂练习 课堂小结 导数的四则运算法则及简单运用. 本节课,我们学习了哪些知识知识? 课后思考 推导证明下面两个运算法则: 解 (1)y′=(x2+log3x)′=(x2)′+(log3x)′=2x+eq \f(1,xln 3). (2)y′=(x3 ex)′=(x3)′ ex+x3 (ex)′=3x2 ex+x3 ex=x2ex(3+x). (3)∵y=(x+1)(x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=(x3+6x2+11x+6)′=3x2+12x+11. 例4.设函数f(x)=ax-eq \f(b,x),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程 为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围 成的三角形面积为定值,并求此定值. 解:(1)由7x-4y-12=0得y=eq \f(7,4)x-3. 当x=2时,y=eq \f(1,2),∴f(2)=2a-eq \f(b,2)=eq \f(1,2), ① 又f′(x)=a+eq \f(b,x2),∴f′(2)=a+eq \f(b,4)=eq \f(7,4). ② 由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a-b=1,,